Équivalent d'une suite téléscopique
Bonjour !
Voici la question que j'ai.
Soit pour tout n dans N, un = esqrt(n+1) - esqrt(n) . Déterminer un équivalent de la suite u et déterminer sa limite éventuelle.
Je reconnais que un est une suite télescopique, mais je ne sais pas quels calculs faire pour déterminer un équivalent. J'ai essayé de factoriser par l'angle moyen mais je n'ai abouti à rien, et je suis complètement bloquée...
Merci d'avance pour votre aide.
Voici la question que j'ai.
Soit pour tout n dans N, un = esqrt(n+1) - esqrt(n) . Déterminer un équivalent de la suite u et déterminer sa limite éventuelle.
Je reconnais que un est une suite télescopique, mais je ne sais pas quels calculs faire pour déterminer un équivalent. J'ai essayé de factoriser par l'angle moyen mais je n'ai abouti à rien, et je suis complètement bloquée...
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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Juste une réécriture : $$u_n=e^{\sqrt{n+1}}-e^{\sqrt{n}}.$$
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Bonjour Sacha, et bienvenue.
Tu peux écrire
\begin{align*}
u_n &= \exp(\sqrt{n+1}) - \exp(\sqrt{n})\\
&= \exp(\sqrt{n})\left( \exp(\sqrt{n+1}- \sqrt{n}) - 1 \right)
\end{align*}
Que peux-tu dire de \( \varepsilon_n := \sqrt{n+1}- \sqrt{n} \) et de \( \exp(\varepsilon_n) - 1 \) ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Factorise par $\exp(\sqrt{n})$ et procède à un développement limité... Tu vas tomber sur une forme $e^{x}-1.$
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On a sqrt(n+1)-sqrt(n) qui tend vers 0 donc esqrt(n+1)-sqrt(n) - 1 est équivalent à sqrt(n+1)-sqrt(n), et donc un est équivalent à esqrt(n) (sqrt(n+1)-sqrt(n)) mais cela ne suffit pas à déterminer la limite?
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.. et $\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\sim\frac{1}{2\sqrt{n}}$ ..
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Bonjour!
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