Opérations sur les équivalents

Bonjour,

1- Quand est défini $f^\lambda$ pour $\lambda$ réel négatif?
2- Quelles sont les opérations autorisées pour les équivalents?

1- Ah bon? Et que signifie $(-x)^{-\frac{1}{5}}$ pour $x$ non nul?
2- Tu n’as pas cité les compositions à gauches particulières dont on a besoin.

@Dom,

Je ne comprends pas l’intérêt de faire le travail à sa place...

Ha c'est la bonne démarche.

En effet, le binôme ne fonctionne pas car là on est avec une puissance non entière.

Connais-tu les développements limités ?
Ou alors, plus simplement, ce truc $(1+\varepsilon)^r$ tend-il vers $1$ ?

La notation $o(u_n)$ désigne une suite, appelons-la $(v_n)_n$, négligeable devant la suite $(u_n)_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$, ce qui signifie (sous l'hypothèse que la suite $u$ ne s'annule pas) que la quantité $\frac{v_n}{u_n}$ converge vers $0$. Le vocabulaire parle de lui-même, la suite $v$ est très petite par rapport à $u$. Les choses sont analogues dans le cas d'une fonction $g$ négligeable devant la fonction $f$ au voisinage d'un point $a$ : $g(x)=o(f(x))$ quand $x$ tend vers $a$ veut dire (en tout cas si $f$ ne s'annule pas sur un voisinage de $a$) que $\frac{g(x)}{f(x)}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $a$.

Dans un DL, les termes en $o$ qui apparaissent signifie simplement que l'on a un terme "d'erreur", dans l'approximation polynomiale d'une fonction, qui est très petit par rapport au monôme $x^k$, où $k$ l'ordre auquel tu as fait ton DL.

Edit : je mets du temps à taper en ce moment donc je n'avais pas vu les messages de Poirot et Gérard.
Je laisse mon long message tout de même.

Il faut d'abord comprendre que cette notation $o$ n'est qu'une manière décrire rapidement quelque chose de long.
C'est pour abréger, en gros.

Je considère deux fonctions $u$ et $v$ définies, disons, sur le même ensemble $D \subset \mathbb R$ qui est un voisinage de $a$ mais qui ne contient pas forcément le point $a$ (voisinage épointé).

On note :
$u=o(v)$ en $a$
lorsqu'il existe une fonction $\epsilon$ (définie sur un sous-ensemble de $D$) qui tend vers $0$ en $a$ telle que, quand on est proche de $a$, on a : $u=\epsilon v$.
Je pourrais écrire : Pour tout $x$ dans $D$ et voisin de $a$, $u(x)=\epsilon (x) v(x)$.

Mais tous tes bouquins et cours contiennent cela.

Les développements limités se servent de cette notation (de Landau) bien commode.

Je le répète, en cas de doute, on reprend au brouillon cette égalité avec la fonction $\epsilon$.
Attention, s'il y a plusieurs $o$, par exemple à ajouter ou autre, il est plus prudent de choisir d'autres lettres ou de mettre des "primes". Mais en fait, à l'usage, selon les contextes, on les regroupe dans la même notation.
(Bah oui : quand on ajoute deux fonctions qui tendent vers 0, alors la somme tend vers 0. Et on a la même chose avec le produit, la différence. Attention au quotient !).

Remarque : attention, j'ai mis en bleu trois égalités. Mais elles sont dans un contexte (au voisinage de $a$) et elles sont quantifiées (il existe ...).

Rien de magique, on applique une propriété du cours.

Si tu as un exemple, on pourra en parler, car comme ça c'est flou !!