Suite récurrente

bonjour

l'énoncé admet des discontinuités et des sauts de puce vertigineux à ta suite numérique !
en fait pour a = 2 et pour a = 4 la suite est bloquée très rapidement

pour a = 3 les 10 premières valeurs de $u_n$ indiquent une alternance de signe une fois sur trois, ou une fois sur deux
c'est un élément intéressant qui préjuge éventuellement l'utilisation des fonctions circulaires

on remarque que $u_n$ admet un développement fractionnaire visible jusqu'au terme $u_1$ :

$$u_n = 2 - \frac{a}{2 - \frac{a}{2-\frac{a}{2-\frac{a}{2-....-\frac{a}{u_1}}}}}$$

les variations de la suite ne sont pas évidentes mais l'énoncé te donne une conjecture inespérée pour la forme de $u_n$ explicité

tu vérifies les premiers termes de la suite pour une valeur donnée de a > 1 avec $a = 1+tan²t$
et tu fais un raisonnement par récurrence sur l'hypothèse $u_n = 1 + \frac{tant}{tan(nt)}$

on ne te demande pas la limite ici de ta suite pourtant elle est visible :
il s'agit de 1 en effet la fonction définie par $cotan(x)$ converge vers 0 pour x infinie
on le démontre avec le critère de Cesàro en raisonnant sur la moyenne de la fonction cotangente
sur un intervalle de la variable t comprise entre $\frac{\pi}{2}$ et x soit :

$$\frac{1}{x - \frac{\pi}{2}}\int_{\frac{\pi}{2}}^xcotan(t)dt = \frac{-1}{x - \frac{\pi}{2}}ln|sinx|$$

qui converge vers 0 pour x infinie, sachant que le numérateur tend vers -ln2 et sachant que
les discontinuités de cotan(t) pour t = k.pi sont compensées dans l'intégration (dans l'esprit de l'énoncé)

on revient à ton équation récurrente à deux termes consécutifs mais cette fois-ci pour 0 < a < 1
tu n'as pas de conjecture concernant $u_n$
donc tu vas être obligé d'utiliser la méthode générale des récurrences à deux termes consécutifs, du type homographique
en posant $a = 1 - th²t = \frac{1}{ch²t}$ tu vas utiliser les fonctions hyperboliques : sinus, cosinus et tangente hyperbolique

l'équation caractéristique de ton équation récurrente est $r² - 2r + a = 0$ soit encore $(r-1)² - (1-a) = 0$
et donc 2 racines réelles : $r_1 = 1 + \sqrt{1-a} = 1 + tht = \frac{e^t}{cht}$ et $r_2 = 1 - \sqrt{1-a} = 1 - tht = \frac{e^{-t}}{cht}$

considérons la suite (v) de terme général : $u_n = \frac{u_n - r_1}{u_n - r_2}$ soit :
$v_n = \frac{2 - \frac{1 - th²t}{u_{n-1}} - 1 - tht}{2 - \frac{1-th²t}{u_{n-1}} - 1 + tht} = \frac{1-tht}{1+tht}\frac{u_{n-1} -1 - tht}{u_{n-1} - 1 + tht}$

la suite (v) est donc géométrique de raison $q = \frac{1 -tht}{1+tht} = e^{-2t}$ et de premier terme $v_1 = \frac{1 -tht}{1 + tht} = e^{-2t}$

$v_n = v_1.q^{n-1}$ donc $v_n = e^{-nt} = \frac{u_n - \frac{e^t}{cht}}{u_n - \frac{e^{-t}}{cht}}$

on peut résoudre en $u_n$ soit : $cht.(e^{nt} - e^{-nt})u_n = e^{(n+1)t} - e^{-(n+1)t}$ soit encore : $$u_n = \frac{sh(n+1)t}{sh(nt).cht}$$

nous vérifions $u_1 = 2$ . Tous les termes sont positifs mais ici la limite de $u_n$ dépend de a en effet $\frac{sh(nt+t)}{sh(nt)}$ tend vers $e^t$

et donc limite de $u_n$ = $\frac{e^t}{cht} = 1 + \sqrt{1-a}$ qui est l'un des points fixes de l'équation récurrente

dans le cas de a = 0,25 la limite est $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ et l'écriture de la série fractionnaire est :
$1,866... = 2 - \frac{0,25}{2 - \frac{0,25}{2 - \frac{0,25}{2 - \frac{0,25} - ....}}}$

remarque : nous pourrions lorsque a > 1 utiliser la résolution générale pour expliciter $u_n$
mais dans ce cas les racines de l'équation caractéristique sont complexes et la méthode générale est lourde

cordialement