Continuité fonction vectorielle ?

Zimbabou
Zimbabou
dans Analyse
Bonjour,
suis sur la preuve de Cayley-Hamilton par densité et ça me parait plutôt clair, sauf pour la continuité de l'appli qui à une matrice A associe son polynôme caractéristique évalué en A.

J'ai trouvé cette première justification : les coefficients de la matrice X(A) sont des polynômes en les coefficients de la matrice A ce dont je ne doute pas mais je n'arrive pas à lier cela à une propriété de continuité du cours ...
Cela vient-il du fait que lorsque l'ev d'arrivée est de dim finie (ici Mn(C)) on regarde la continuité de chaque fonction coordonnée ?

J'aimerais bien le détail du raisonnement car je trouve souvent ce "polynomial" pas clair du tout
Merci :)

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ben oui. Une fonction arrivant dans un espace vectoriel de dimension finie (sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$) est continue si et seulement si chacune des coordonnées de la fonction (dans une base quelconque) est continue.

    Tu n'es pas convaincu(e) que les coefficients du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$ sont des polynômes en les coefficients de $A$, que les coeffcients des $A^k$ sont des polynômes en les coefficients de $A$, et que donc les coefficients de $\chi_A(A)$ sont des polynômes en les coefficients de $A$ ?
    Ou tu n'es pas convaincu(e) qu'un polynôme est continu ?
    Pour le raisonnement par densité, il n'y a d'ailleurs absolument pas besoin du premier paragraphe du message : on veut montrer que chaque coefficient de la matrice $\chi_A(A)$ (un complexe) est nul. On a donc à considérer des fonctions de $M_n(\mathbb C)$ dans $\mathbb C$.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    Merci pour ta réponse.

    Et bien en fait un peu par tout .... Comment expliquerais-tu à qqun la continuité de cette application en citant les propriétés utilisées une par une ?
    Ce que j'ai néanmoins compris c'est que lorsqu'on calcule le déterminant d'une matrice, grâce à la formule avec la signature, on voit bien que le résultat n'est qu'une somme de produit de coefficients de la matrice initiale. Comment lier cela à de la continuité ? Comme tu le dis on passe de A à n² nombres complexes : comment expliquer que ce phénomène est continu ? Y a-t-il à faire avec une composition de deux continues, me demandais-je ?

    Je ne sais pas si je suis clair .... du fait que le concept de continuité dans un evn m'est très abstrait ... (y a-t-il d'ailleurs un moyen de "visualiser" la continuité dans des evn ?)

    merci encore !
  • ev
    ev
    GaBuZoMeu a écrit:
    Une fonction arrivant dans un espace vectoriel de dimension finie (sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$) est continue si et seulement si chacune des coordonnées de la fonction (dans une base quelconque) est continue.

    Si la police te demande, tu n'as qu'à leur dire que

    Dans un espace de dimension finie toutes les normes sont équivalentes à la norme infinie (dans une base quelconque précise GaBuZoMeu, que je salue)

    Mais la continuité relativement à la la norme infinie est clairement (?) équivalente à celles de toutes les fonctions coordonnées. (la base fût-elle quelconque)

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il s'agit ici tout bêtement de la continuité des fonctions de $N=n^2$ variables (les $n^2$ coefficients de la matrice $A$) à valeurs dans $\mathbb C$.
    Et on utilise les propriétés suivantes
    1) Les fonctions constantes sont continues.
    2) Les fonctions $(x_1,\ldots,x_N)\mapsto x_i$ sont continues pour tout $i$ entre $1$ et $N$.
    3) La somme de deux fonctions continues est continue.
    4) L'opposé d'une fonction continue est continu.
    5) Le produit de deux fonctions continues est continu.
    EPICETOU !
    Ça suffit pour montrer que la fonction (polynomiale !) de $N$ variables qui associe aux $N$ coefficients de la matrice $A$ le coefficient de ligne $i$ et de colonne $j$ de la matrice $\chi_A(A)$ est continue.
    Et une fonction continue nulle sur une partie dense de $\mathbb C^{N}$ est nulle sur tout $\mathbb C^{N}$.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    d'accord, donc si je te suis bien, une façon de montrer la continuité d'une appli entre deux C-evn de dim finie, c'est de dire que chaque coordonnée dans l'espace d'arrivée serait polynomiale en les variables de l'espace de départ ? et ceci indépendamment des bases et de la norme.

    Je dis ok !

    Alors je t'ennuie encore une dernière fois, comment montre-t-on avec qques détails que les coeff de Xa(A) sont des polynomes en les coeff de A ? Je reprends ta phrase plus haut (que je n'arrive pas à copier coller pff) cf ton deuxième message

    merciii
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Travaille les détails. En deux mots :
    - les coefficients de $\chi_A$ sont des polynômes en les coefficients de $A$ (réfléchis à comment on calcule le polynôme caractéristique).
    - les coefficients des $A^k$ sont des polynômes en les coefficients de $A$.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    Pour la première partie :

    - on part de A=(aij) et le polynôme caractéristique est l'appli t --> det(A-t.I) est bien polynomiale en t et aij. Les coeff en les t^k de ce polynôme caractéristique sont alors des polynômes en les aij. Donc X : A --> X_A si on l'écrit dans les bases canoniques de Mn(C) et Cn(X) on voit que les coordonnées de l'images sont les coeff de t^k ie bien polynomiales en les aij. D'où la continuité (ouf !)

    - Par contre pour la deuxième partie j'ai du mal pour la rédaction ... je dirais en effet d'abord que A-->A^k est continue car là aussi polynomiale en les aij, base canonique etc. Mais je n'arrive pas bien à boucler la boucle.

    Une dernière aide rédigée en une ligne ou deux me serait utile....

    Merci pour ta précieuse aide sur des détails mineurs mais comme ce sont censés être des dév d'agreg interne, je laisse filer aucun détail, aussi des fois je prends 48h pour une démo juste pour que ça s'imprime dans ma tronche (le détai)l ...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    1°) Les coefficients $c_k$ du polynôme $\chi_A=T^n+c_1T^{n-1}+\cdots+c_n$ sont des polynômes en les coefficients de $A$. Tu es d'accord avec ça.
    2°) Pour tout entier $k$, chaque coefficient de $A^k$ est un polynôme en les coefficients de $A$. Je n'ai pas compris si tu es d'accord ou non.
    3°) Chaque coefficient de $\chi_A(A)=A^n+c_1A^{n-1}+\cdots+c_nI_n$ est un polynôme en les coefficients de $A$. Ça me semble une conséquence directe de 1°) et 2°). Pas d'accord ?
  • Zimbabou
    Zimbabou
    1 et 2 tout bon !

    3 pas si d'accord ... c'est LE lien qu'il me manque ...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    M'enfin ????
    Le coefficient de ligne $i$ colonne $j$ de $\chi_A(A)$ est égal au coefficient de ligne $i$ colonne $j$ de $A^n$ plus $c_1$ fois le coefficient de ligne $i$ colonne $j$ de $A^{n-1} $ plus ....
  • Zimbabou
    Zimbabou
    oui, où avais-je la tête ... merci de ton aide :)
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