Intégrale de surface

@miniportecle
On a fait la même faute
C'est délimité par et non pas l'imtersection de
X:-(

@mon voisin du dessus
Yes

Bonjour,

Voici ce que je fais.

Le domaine $\displaystyle D_1$ est la partie supérieure du disque de centre $\displaystyle (0,1/2)$ et de rayon $\displaystyle 1/2$ coupé par la droite d'équation $\displaystyle y=x.$
Le domaine $\displaystyle D_2$ est la partie inférieure du disque.
Comme l'intégrande $\displaystyle f: (x,y) \mapsto \sqrt{1-x^2-y^2}$ est défini, continu et borné sur le domaine $\displaystyle D=D_1 \cup D_2$, alors l'intégrale $\displaystyle I=\iint_D dxdy f(x,y)=I_1+I_2 =\iint_{D_1} dxdy f(x,y) +\iint_{D_2} dxdy f(x,y)$ existe.
De plus, l'intégrande s'exprime facilement en coordonnées polaires et alors $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin\theta$ avec $\displaystyle r \geq 0$ et $\displaystyle \theta \in [0, 2\pi].$
Le domaine $\displaystyle D_1$ correspond à $\displaystyle r \in [0, \sin \theta], \theta \in [\pi/4, \pi]$ puisque le cercle bordant le disque est donné par $\displaystyle r^2=r \sin \theta.$
On a donc $\displaystyle I_1=\int_{\pi/4}^{\pi} d\theta \int_{0}^{\sin \theta} dr r \sqrt{1-r^2}={1\over 3} \int_{\pi/4}^{\pi} d\theta (1-|\cos \theta|^3).$
De même, on a $\displaystyle I_2={1\over 3} \int_{0}^{\pi/4} d\theta (1-\cos^3 \theta).$
On utilise la relation de Chasles avec coupure en $\displaystyle \pi/2$ pour garder un signe constant du cosinus, et on établit $\displaystyle \cos^3 x = {1 \over 4} (3 \cos x + \cos 3 x), x \in \R.$
On calcule alors sans difficulté :
$\displaystyle I_1 = {\pi \over 4} -{4 \over 9} + {5 \sqrt{2} \over 36}.$
$\displaystyle I_2 ={\pi \over 12} - {5 \sqrt{2} \over 36}.$