Intégrale de surface
dans Analyse
Bonjour
J'ai du mal à résoudre ce problème suivant.
Intégrer la fonction $(x,y) \mapsto \sqrt{1-x^2-y^2}$ sur la région du plan délimité par $y=x$ et $x^2+y^2=y$.
Ce que j'aurais fait, c'est faire un changement de variable pour passer en coordonnées polaires :
$x= r \cos (\theta)$
$y = r \sin (\theta)$.
Mais j'ai du mal avec la deuxième condition $x^2+y^2=y$. Je suis habituée quand cela est égal à un nombre fixé, ici, $y$ est également variable et on sait que $y = x$ donc $x^2 +y^2=x=y$. Un nombre qui est égal à lui-même au carré additionné d'un autre nombre positif, ce n'est possible que quand c'est égal à 0 ?
Une piste pour m'aider ? Est-ce que passer en coordonnées polaires est déjà un bon début ?
Merci d'avance.
J'ai du mal à résoudre ce problème suivant.
Intégrer la fonction $(x,y) \mapsto \sqrt{1-x^2-y^2}$ sur la région du plan délimité par $y=x$ et $x^2+y^2=y$.
Ce que j'aurais fait, c'est faire un changement de variable pour passer en coordonnées polaires :
$x= r \cos (\theta)$
$y = r \sin (\theta)$.
Mais j'ai du mal avec la deuxième condition $x^2+y^2=y$. Je suis habituée quand cela est égal à un nombre fixé, ici, $y$ est également variable et on sait que $y = x$ donc $x^2 +y^2=x=y$. Un nombre qui est égal à lui-même au carré additionné d'un autre nombre positif, ce n'est possible que quand c'est égal à 0 ?
Une piste pour m'aider ? Est-ce que passer en coordonnées polaires est déjà un bon début ?
Merci d'avance.
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Réponses
Pour la fonction $y=x$, il s'agit d'une droite (la bissectrice en réalité) et pour $y = y^2+x^2$, mon intuition me dit que c'est un cercle, j'ai essayé de compléter le carré ce qui me permet de réécrire l'équation comme étant $x^2+\left( y-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}=0$.
Et je ne me suis pas trompée dans le domaine, voici une capture d'écran de mes anciens partiels
On a fait la même faute
C'est délimité par et non pas l'imtersection de
X:-(
Mais dans les deux cas, il faut calculer l'intersection non ?
Yes
Les deux courbes s'intersectent en $(0,0)$ et en $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$. Donc $0\le x\le \frac{1}{2}$ et $0\le y\le \frac{1}{2}$.
Est-ce correct jusque là ?
Oui.
Comment je pourrais trouver analytiquement sans dessin ?
Une fois qu'on a choisi une des deux régions, le calcul peut effectivement se faire en coordonnées polaires.
Merci, admettons que ce soit la surface hachurée (l'énoncé n'est pas plus précis que cela), je fais comment pour passer en coordonnées polaires ?
Donc je fais
$x=r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
Puisque $0\le x \le y$ alors j'ai $\cos \theta \le \sin \theta$ donc $0\le \theta \le \frac{\pi}{4}$.
Je calcule le déterminant de la jacobienne puis je substitue le tout dans l'intégrale de départ et j'ai
$\int_{0}^{\sqrt 2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \sqrt{1-r^2} r d r \right) d \theta$.
Est-ce bon comme raisonnement ? Merci bien à tout le monde !
Tes bornes d'intégrale ne vont pas.
Et pour avoir une expression correcte des bornes d'intégration pour $r$, il serait bon d'avoir l'équation du cercle en coordonnées polaires (ça confirmera par ailleurs les bornes pour $\theta$).
Voici ce que je fais.
Le domaine $\displaystyle D_1$ est la partie supérieure du disque de centre $\displaystyle (0,1/2)$ et de rayon $\displaystyle 1/2$ coupé par la droite d'équation $\displaystyle y=x.$
Le domaine $\displaystyle D_2$ est la partie inférieure du disque.
Comme l'intégrande $\displaystyle f: (x,y) \mapsto \sqrt{1-x^2-y^2}$ est défini, continu et borné sur le domaine $\displaystyle D=D_1 \cup D_2$, alors l'intégrale $\displaystyle I=\iint_D dxdy f(x,y)=I_1+I_2 =\iint_{D_1} dxdy f(x,y) +\iint_{D_2} dxdy f(x,y)$ existe.
De plus, l'intégrande s'exprime facilement en coordonnées polaires et alors $\displaystyle x=r \cos \theta, y=r \sin\theta$ avec $\displaystyle r \geq 0$ et $\displaystyle \theta \in [0, 2\pi].$
Le domaine $\displaystyle D_1$ correspond à $\displaystyle r \in [0, \sin \theta], \theta \in [\pi/4, \pi]$ puisque le cercle bordant le disque est donné par $\displaystyle r^2=r \sin \theta.$
On a donc $\displaystyle I_1=\int_{\pi/4}^{\pi} d\theta \int_{0}^{\sin \theta} dr r \sqrt{1-r^2}={1\over 3} \int_{\pi/4}^{\pi} d\theta (1-|\cos \theta|^3).$
De même, on a $\displaystyle I_2={1\over 3} \int_{0}^{\pi/4} d\theta (1-\cos^3 \theta).$
On utilise la relation de Chasles avec coupure en $\displaystyle \pi/2$ pour garder un signe constant du cosinus, et on établit $\displaystyle \cos^3 x = {1 \over 4} (3 \cos x + \cos 3 x), x \in \R.$
On calcule alors sans difficulté :
$\displaystyle I_1 = {\pi \over 4} -{4 \over 9} + {5 \sqrt{2} \over 36}.$
$\displaystyle I_2 ={\pi \over 12} - {5 \sqrt{2} \over 36}.$
4.11 - ne donnez pas la solution des exercices trop vite, mettez sur la piste, suggérez des indices ;