Fonction entière
Bonjour à tous,
Pourriez-vous me donner des démonstrations pour la proposition suivante.
Soit f une fonction entière (holomorphe sur C entier) tel que :
Si vous avez en plus des propositions similaires je vous en serais reconnaissant.
Merci bien.
Pourriez-vous me donner des démonstrations pour la proposition suivante.
Soit f une fonction entière (holomorphe sur C entier) tel que :
Re(f) > Im(f)
Montrer que f est constante.Si vous avez en plus des propositions similaires je vous en serais reconnaissant.
Merci bien.
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Réponses
f=P+iQ
g=Q-iP
f holomorphe implique g holomorphe implique f-g holomorphe.
Alors Re(f-g) est majoré par 0 donc f-g est bornée et on en conclut que f est constante.
@gabuzomeu
Pourrais tu m'en dire plus ?
Pourquoi ?
On a le fait suivant
Re(f) < a implique f bornée
Si tu pouvais me l'expliquer avec les mains tu m'aiderais bien
(Si j'ai bien compris, on a simplement $g=-if$ et donc $f-g=(1+i)f$, n'est-ce pas ? Donc en fait la partie réelle de $f-g$ est minorée par $0$ ; pas grave, on peut prendre l'opposé.)
(Et a fortiori bornée mais c'est moins important).
Ce fait rejoint la multitude de faits étonnants sur les fonctions holomorphes et je me demandais si tu étais à l'aise avec les fonctions holomorphes et leurs propriétés (ce qui n'est vraiment pas mon cas).
Merci pour tes réponses gabuzomeu.
Si $\Re f > \Im f$, pas difficile de trouver un $a$ et un $r$ comme ci-dessus.
Elle est bornée, c'est rapide et efficace !
Merci
Et oui a et r sont très simples à trouver
Ça me convient parfaitement (il faut que je comprennes mieux le principe du maximum pour imaginer de telles solutions )
> Si vous avez en plus des propositions similaires
> je vous en serais reconaissant.
Pour commencer: Si on suppose que $(Re f(z))^2\geq (Im f(z))^2$, comment tu vas t'en sortir ?
Merci pour ton énoncé.
La technique de gabuzomeu nous permet de conclure que :
" le complémentaire de l'image d'une fonction entière non constante est d'intérieur nul"
Or l'image d'une fonction qui satisfait ces hypothèses est inclus dans un ensemble dont le complémentaire est ouvert non vide donc la méthode Gabu s'applique.
Re-merci Gebrane et n'hésite pas si tu as d'autres énoncés (ou toute autre personne (tu))
f holomorphe implique f^2 holomorphe implique -f^2 holomorphe
Donc les hypothèses impliquent que Re(-f^2) <0
Et donc par le même passage à l'exponentiel on en conclut que que f^2est constante et donc que f est constante
Mais le thm de Picard est très loin d'étre un résultat élémentaire.
Par la formule de Cauchy, on a pour tout $k\geq 1,$ pour tout $r\gg 1,$ $$\vert a_{k} \vert r^{k}=\big \vert \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(re^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta \big \vert \leq Cr\sup_{\vert z \vert =r} \frac{\vert f(z) \vert}{ \vert z \vert}.$$
Ainsi, en divisant par $r^{k}>0$ puis en faisant tendre $r$ vers l'infini, on obtient pour tout $k\geq 1,$ $a_{k}=0$ (car pour $r\gg 1,$ $\displaystyle \vert a_{k} \vert \leq C\sup_{\vert z \vert =r} \frac{\vert f(z) \vert}{ \vert z \vert}$). Et ainsi, $f$ est bien constante.
Réciproquement, on voit que toutes les fonctions constantes vérifient cette condition.
Je vous prie de lire la charte avant de poster la prochaine fois::-X
Article 4.2.5:
Quiconque ose s'infiltrer dans les topics de phare et répondre à sa place aux énoncés qui lui sont proposés par d'autres forumeurs devra s'acquiter d'une amande qui consiste à poster un énoncé original dans le même sujet accompagné de remarques profondes sur le sujet.
Veuillez payer messieurs !
(:P)
Voilà une série d'exercices qui tourne autour du théorème de Picard (le petit). On peut directement passer à l'application pour s'initier à utiliser des inégalités plus "subtiles" sur les fonctions holomorphes.
***Montrer l'inégalité (dite de la partie réelle de Borel-Carathéodory) suivante.
Soit $0<r<R<+\infty.$ Soit $f$ une fonction entière (ou holomorphe sur $\mathcal{B}(0,R)$ et continue sur la frontière).
On a alors :
$$\sup_{\vert z\vert =r} \vert f(z) \vert \leq \frac{2r}{R-r}\sup_{\vert z \vert =R} \mbox{Re}(f(z))+ \frac{R+r}{R-r}\vert f(0) \vert.$$
Indication : Utiliser le principe du maximum à une fonction bien choisie!
***Application : Soit $f$ une fonction entière. Soit $l$ un entier plus grand que $1.$ On note $f^{\star l}=f\circ \ldots \circ f \mbox{ }$ $l$ fois.
Montrer que si $f$ "évite au moins deux valeurs" (l'image de $f$ évite au moins deux valeurs) et que si pour tout $z\in\mathbb{C},\mbox{ }$ $\displaystyle \vert f(z)\vert \leq A \exp^{\star l}(B\vert z \vert)$ (pour des certaines constantes $A$ et $B$ strictement positives) alors $f$ est constante.
Merci pour ta coopération ;-)
@ModuloP
Personne n'est au dessus de la loi (:D