Fonction entière

Essaie de fabriquer une fonction entière bornée à partir de $f$.

Alors Re(f-g) est majoré par 0 donc f-g est bornée

Pourquoi ?

Comme $f$ est entière, on écrit pour tout $r>0,$ pour tout $\theta$ $$f(re^{i\theta})=\sum\limits_{n\geq 0} a_{n}r^{n}e^{in\theta}.$$
Par la formule de Cauchy, on a pour tout $k\geq 1,$ pour tout $r\gg 1,$ $$\vert a_{k} \vert r^{k}=\big \vert \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(re^{i\theta})e^{-ik\theta}d\theta \big \vert \leq Cr\sup_{\vert z \vert =r} \frac{\vert f(z) \vert}{ \vert z \vert}.$$
Ainsi, en divisant par $r^{k}>0$ puis en faisant tendre $r$ vers l'infini, on obtient pour tout $k\geq 1,$ $a_{k}=0$ (car pour $r\gg 1,$ $\displaystyle \vert a_{k} \vert \leq C\sup_{\vert z \vert =r} \frac{\vert f(z) \vert}{ \vert z \vert}$). Et ainsi, $f$ est bien constante.

Et si on considère $g(z) = \frac{f(z) - f(0)}{z}$ c'est prolongeable holomorphiquement (?) en $0$ et est une fonction entière et vu la condition elle est bornée donc constante. Et comme $g \to 0$ en $\infty$, cette constante est $0$ d'où $f(z) = f(0)$.

Le théorème de Liouville dit que si $f$ est entière et $|f(z)| \leq |z|^k$ pour $|z|$ assez grand alors $f$ est un polynome de degré au plus $k$. J'ai simplement appliqué le théorème avec $k=1$.

Oui c'est celui de base avec $k=0$. Tu peux démontrer le cas général facilement avec les inégalités de Cauchy. :-)

En guise d '"amande" (au bon gout fruité! ) pour me faire pardonner...

Voilà une série d'exercices qui tourne autour du théorème de Picard (le petit). On peut directement passer à l'application pour s'initier à utiliser des inégalités plus "subtiles" sur les fonctions holomorphes.

***Montrer l'inégalité (dite de la partie réelle de Borel-Carathéodory) suivante.

Soit $0<r<R<+\infty.$ Soit $f$ une fonction entière (ou holomorphe sur $\mathcal{B}(0,R)$ et continue sur la frontière).
On a alors :
$$\sup_{\vert z\vert =r} \vert f(z) \vert \leq \frac{2r}{R-r}\sup_{\vert z \vert =R} \mbox{Re}(f(z))+ \frac{R+r}{R-r}\vert f(0) \vert.$$

Indication : Utiliser le principe du maximum à une fonction bien choisie!

***Application : Soit $f$ une fonction entière. Soit $l$ un entier plus grand que $1.$ On note $f^{\star l}=f\circ \ldots \circ f \mbox{ }$ $l$ fois.

Montrer que si $f$ "évite au moins deux valeurs" (l'image de $f$ évite au moins deux valeurs) et que si pour tout $z\in\mathbb{C},\mbox{ }$ $\displaystyle \vert f(z)\vert \leq A \exp^{\star l}(B\vert z \vert)$ (pour des certaines constantes $A$ et $B$ strictement positives) alors $f$ est constante.