Dérivabilité et différentiabilité

Peux-tu définir ces deux notions?

Je pense qu'il y a plein de gens qui sont confus entre "différentiable" et "dérivable" parce qu'en dimension 1, la différentielle de $f$ en $a$ c'est l'application $x \longmapsto f'(a)x$ et pas l'application $x \longmapsto f'(x)$ (alors qu'en dimension plus grande on a l'impression que c'est les mêmes applications).

On dit "différentiable" quand la fonction admet une "différentielle", "dérivable" est utilisé comme un synonyme de "différentiable" MAIS il y a une distinction importante entre la dérivée d'une fonction ($f'$ dans le cas de $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$) et sa différentielle.

La différentielle c'est un truc qui est défini en un point : on parle de la différentielle de $f$ en $a$ (on la note $d_a f$ ou $D_a f$ par exemple), et c'est une application linéaire. La fonction $f'$ n'est pas forcément linéaire. Donc l'un et l'autre ne sont pas des analogues. Mais il existe une application qui à $a$ associe $D_a f$ et c'est celle-là qui est analogue à $f'$.

Donc il n'y a effectivement aucune distinction à faire entre "différentiable" et "dérivable" mais l'application [différentielle de $f$ en $a$] n'est PAS l'analogue multidimensionnel de la fonction $f'$.

gebrane, il n'a pas dit que Fréchet et Gateaux étaient interchangeables, mais que dérivable et différentiable l'étaient. Plus précisément, il a dit que dans l'expression "dérivable au sens de machin", à machin fixé (machin étant Gateaux, Fréchet ou Hadamard), on pouvait remplacer dérivable par différentiable.

EDIT : Merci Jacquot pour la correction.