Fonction à croissance lente

Merci Tryss. La preuve que toute fonction à croissance lente définie une distribution tempérés est claire car toute fonction à croissance lente est $L^1_{loc}$ et elle définit donc une distribution $T_f$ pour tout $\phi \in D$ puis on étend cette définition à tout $\phi \in S$.
1- Pour la valeur principale de Cauchy $vp(\dfrac{1}{x})$ on sait que c'est une distribution d'ordre 1. Pourquoi elle est tempérée?
2- on sait que si $f \in L^1(\R^n)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} \in L^1(\mathbb{R}^n),$, alors $F(\dfrac{\partial f}{\partial \xi_j})(\xi)= i \xi_j Ff(\xi)$. Si $f \in L^1(\R^n)$ et $x \to x_j \in L^1(\R^n)$ pour tout $1 \leq j \leq n$ alors $Ff \in C^1(\R^n)$ et $F(x_j f)(\xi)= i \partial_{\xi_j} Ff(\xi)$.
Dans les cours je lis qu'un corollaire immédiat de ces propriétés est que plus la fonction est régulière, plus sa transformée de Fourier décroit vite, et vice-versa. Cette dualité est fondamentale pour la théorie de Fourier.
Je ne comprend pas du tout cette histoire de régularité et de dualité.
Je cherche à comprendre ces deuxpoints

Mais cette remarque sur la relation entre la régularité est Fourier est donné avant de voir les espaces de fonctions à décroissance rapide :-S

oui en effet j'ai oublié la continuité. Pardon
pour la relation entre Fourier et la régularité?

Gebrane j'ai trouvé cette définition dans le polycopié que tu m'as donné page 31 ci-oint une capture de la définition.
Que proposes-tu comme définition ?

Ok Tryss c'est compris. Du coup on dit qu'une condition suffisante pour qu'un élément soit de $S'$ est qu'il soit $L^1_{loc}$ et on peut le majorer par un polynôme. Cette condition suffisante vient du fait que les fonctions à croissance lente définisse une distribution tempérée?

@Gebrane: il me semble que j'ai mal posé ma question. Je vois pourquoi ça marche mais ma question est d'où vient cette condition suffisante? à quel moment les auteurs ont trouvé que ces conditions marchent bien et sont suffisantes mais pas nécessaire? Ou alors l'idée de prendre ces conditions comme suffisantes pour montrer que $f \in S'$ sont venues juste comme ça, par hasard?

J'essaye de montrer pourquoi $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ et $f$ majorée par un polynôme implique que $f \in S'(\R^n)$ suffisent pour conclure que $f \in S'(\R^n)$.
$f \in S'(\R^n)$ est équivalent à $|<T_f,\phi>_{S',S}| \leq C N_p(\phi)$.
D'abord $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ veut dire qu'il définit la distribution $<T_f,\phi>_{D',D}= \int_{\R^n} f \phi dx$. Après je ne vois pas comment la majoration par un polynôme rentre en jeu pour montrer que $f \in S'$.
Merci d'avance.

Tout d'abord, pour la semi norme de $S$, je trouve dans un polycopié dont la capture est jointe que $N_p(\phi)= \sup_{|\alpha|\leq p} \sup_{ |\beta|\leq p} ||x^{\alpha} D^{\beta}\varphi||_{\infty} ||x^{\alpha} D^{\beta}\varphi||_{L^\infty}$ et dand un autre je trouve que $N_p(\phi)= \sum_{|\alpha| \leq p, |\beta| \leq p} ||x^{\alpha} D^\beta \varphi||_{L^\infty}$.
Comment savoir qui est la bonne semi norme?:-S

Ensuite soit $\varphi \in S(\R^n)$ alors pour tout polynôme $P$ on a $||P.D^\beta \varphi||_{\infty} \leq c.$
On a $|\langle T_f,\varphi\rangle| \leq\displaystyle\int_{\R^n} |P(x) \varphi(x)| dx$
là il y a une norme $L^1$, comment passer à la norme $L^{\infty}$?

Merci Tryss. On peut dire sur $Q$ qu'il est un polynôme qui n'a pas de racine et tel que $\dfrac{1}{Q} \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ?

On peut donc formuler cette condition suffisante sous la forme d'un lemme qui dit ceci:
Lemme: Soit $f \in L^1_{loc}(\R^n)$. Si de plus $f$ est majorée par un polynôme $P$, alors $f$ est un élément de $S'(\R^n)$.

Cette formulation est correcte?