Fonction à croissance lente
Bonjour
on dit qu'une fonction continue $f$ est à croissance lente s'il existe $p \geq 0$ et $C>0$ telles que, pour tout $x \in \R^n$,
$$
|f(x)| \leq C(1+|x|)^p
$$
comment on construit un exemple de fonction à croissance lente? Et comment construire un exemple de distribution tempérée définie par une fonction à croissance lente?
Merci d'avance.
on dit qu'une fonction continue $f$ est à croissance lente s'il existe $p \geq 0$ et $C>0$ telles que, pour tout $x \in \R^n$,
$$
|f(x)| \leq C(1+|x|)^p
$$
comment on construit un exemple de fonction à croissance lente? Et comment construire un exemple de distribution tempérée définie par une fonction à croissance lente?
Merci d'avance.
Réponses
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Par exemple, les polynômes sont des fonctions à croissance lente. Les fonctions bornées le sont aussi. Bref, si ta fonction peut être majorée (en valeur absolue) par un polynôme en $|x|$, alors elle est à croissance lente.
Et pour $f$ à croissance lente, on peut définir la distribution tempérée $T_f$ associée par
$\forall \varphi \in S, \langle T_f, \varphi \rangle = \int_{\R^n} f(x) \varphi(x) dx$
Démontre donc que ça défini bien une distribution tempérée. -
Merci Tryss. La preuve que toute fonction à croissance lente définie une distribution tempérés est claire car toute fonction à croissance lente est $L^1_{loc}$ et elle définit donc une distribution $T_f$ pour tout $\phi \in D$ puis on étend cette définition à tout $\phi \in S$.
1- Pour la valeur principale de Cauchy $vp(\dfrac{1}{x})$ on sait que c'est une distribution d'ordre 1. Pourquoi elle est tempérée?
2- on sait que si $f \in L^1(\R^n)$ et $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} \in L^1(\mathbb{R}^n),$, alors $F(\dfrac{\partial f}{\partial \xi_j})(\xi)= i \xi_j Ff(\xi)$. Si $f \in L^1(\R^n)$ et $x \to x_j \in L^1(\R^n)$ pour tout $1 \leq j \leq n$ alors $Ff \in C^1(\R^n)$ et $F(x_j f)(\xi)= i \partial_{\xi_j} Ff(\xi)$.
Dans les cours je lis qu'un corollaire immédiat de ces propriétés est que plus la fonction est régulière, plus sa transformée de Fourier décroit vite, et vice-versa. Cette dualité est fondamentale pour la théorie de Fourier.
Je ne comprend pas du tout cette histoire de régularité et de dualité.
Je cherche à comprendre ces deuxpoints -
Bonjour,
Si $f$ est $C^{\infty}$, alors $Ff$ est à décroissance rapide $^*$. Par "dualité", on entend que si $f$ est à décroissance rapide, alors $Ff$ est $C^{\infty}$.
$^*$ : $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} $ est à décroissance rapide si $\forall \alpha >0, |f| = O(|x|^{-\alpha})$
Edit : Pour aller dans le même sens que @Tryss quand il t'explique ce qu'est la croissance lente , une fonction est à décroissance rapide lorsqu'elle décroît plus vite que l'inverse de tout polynôme. -
Mais cette remarque sur la relation entre la régularité est Fourier est donné avant de voir les espaces de fonctions à décroissance rapide :-S
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La définition de mati pour une fonction à croissance lente est très restrictive, elle exclut par exemple la fonction de Heaviside.Le 😄 Farceur
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Enleve par exemple la continuité dans sa définition.Le 😄 Farceur
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Tu veux inclure Heaviside...n’est-ce pas? Que proposes-tu?
Edit : ok , pas lu ta réponse (tu) -
Mais attention, si on enleve la continuité, il faut bien énoncer le resultat de Tryss sur $T_f$ sinon c'est fauxLe 😄 Farceur
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oui en effet j'ai oublié la continuité. Pardon
pour la relation entre Fourier et la régularité? -
C'est trop exagéré comme définition .Le 😄 Farceur
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Gebrane j'ai trouvé cette définition dans le polycopié que tu m'as donné page 31 ci-oint une capture de la définition.
Que proposes-tu comme définition ? -
Tu peux généraliser la définition de cette façon :
On dit qu'une fonction mesurable $f$ est à croissance lente s'il existe $p \geq 0$ et $C > 0$ telles que, pour presque tout $x\in \R^n$, $|f(x)| \leq C (1+|x|)^p$ -
Ok Tryss c'est compris. Du coup on dit qu'une condition suffisante pour qu'un élément soit de $S'$ est qu'il soit $L^1_{loc}$ et on peut le majorer par un polynôme. Cette condition suffisante vient du fait que les fonctions à croissance lente définisse une distribution tempérée?
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Il y a une condition suffisante pour montrer que $f \in S'(\R^n)$ c'est que f est dans $L^1_{loc}$ et aussi qu'on peut la majorer par un polynôme. D'on on tire cette condition suffisante alors?
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@Tryss tu ne m'a pas bien lu
Gebrane : Apres on peut énoncer que toute fonction mesurable à croissante lente définit une distribution tempérée
Tryss : si la fonction n'est pas mesurable, comment défini tu sa distribution associée?
J'avais fait une recherche avant, pour voir ce que les autres font, des auteurs préfèrent que : la mesurabilité vient après. (pour construire T_f)
Un exemple https://moodle.utc.fr/pluginfile.php/50425/mod_resource/content/0/ChapIV_TF/MT12_ChapIV2.pdf
Si on impose à f d’être mesurable dans la définition : Prend E l'ensemble de Vitali et f l'indicatrice de E , alors f n'est pas mesurable et donc f n'est pas à croissante lente d’après cette définition mais visiblement la croissante de f est lente comme fonction bornée.Le 😄 Farceur -
@mati
la réponse à ta question dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1694710,1695258#msg-1695258 c'est la Tf donnée par Tryss. je te laisse avec Tryss sur le pour quoi que Tf est bien dans S' en utilisant la définition ( forme linaire continue sur S)Le 😄 Farceur -
@Gebrane: il me semble que j'ai mal posé ma question. Je vois pourquoi ça marche mais ma question est d'où vient cette condition suffisante? à quel moment les auteurs ont trouvé que ces conditions marchent bien et sont suffisantes mais pas nécessaire? Ou alors l'idée de prendre ces conditions comme suffisantes pour montrer que $f \in S'$ sont venues juste comme ça, par hasard?
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à quel moment ...
...sont venues juste comme ça, par hasard?
L'inventeur des distributions Laurent Schwartz à lui même dit que la découverte des distributions et la sauce qui va avec ( espace S, espace S', croissante lente, décroissante rapide, Fourier,....) était une révélation d'une nuit ( ou deux). Je ne sais rien sur la chronologie de ces découvertes.
@mati
J'ai un doute que tu sais démontrer que Tf est bien tempérée. Prouve le moiLe 😄 Farceur -
J'essaye de montrer pourquoi $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ et $f$ majorée par un polynôme implique que $f \in S'(\R^n)$ suffisent pour conclure que $f \in S'(\R^n)$.
$f \in S'(\R^n)$ est équivalent à $|<T_f,\phi>_{S',S}| \leq C N_p(\phi)$.
D'abord $f \in L^1_{loc}(\R^n)$ veut dire qu'il définit la distribution $<T_f,\phi>_{D',D}= \int_{\R^n} f \phi dx$. Après je ne vois pas comment la majoration par un polynôme rentre en jeu pour montrer que $f \in S'$.
Merci d'avance. -
Le truc important à remarquer : si $\phi \in S$, alors $(1+|x|)^p (1+|x|^{2n}) \phi(x)$ est bornée.
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Tout d'abord, pour la semi norme de $S$, je trouve dans un polycopié dont la capture est jointe que $N_p(\phi)= \sup_{|\alpha|\leq p} \sup_{ |\beta|\leq p} ||x^{\alpha} D^{\beta}\varphi||_{\infty} ||x^{\alpha} D^{\beta}\varphi||_{L^\infty}$ et dand un autre je trouve que $N_p(\phi)= \sum_{|\alpha| \leq p, |\beta| \leq p} ||x^{\alpha} D^\beta \varphi||_{L^\infty}$.
Comment savoir qui est la bonne semi norme?:-S
Ensuite soit $\varphi \in S(\R^n)$ alors pour tout polynôme $P$ on a $||P.D^\beta \varphi||_{\infty} \leq c.$
On a $|\langle T_f,\varphi\rangle| \leq\displaystyle\int_{\R^n} |P(x) \varphi(x)| dx$
là il y a une norme $L^1$, comment passer à la norme $L^{\infty}$? -
@mati, le choix de l'une des deux semi-norme n'est pas important, elles sont équivalentes : \[
\sup_{|\alpha|\leq p, |\beta| \leq p} \| x^\alpha D^\beta \varphi \|_\infty \leq \sum_{|\alpha|\leq p, |\beta | \leq p } \| x^\alpha D^\beta \varphi \|_\infty \leq (p+1)^2 \sup_{|\alpha|\leq p, |\beta| \leq p} \| x^\alpha D^\beta \varphi \|_\infty
\] Sinon, pour ta deuxième question, il suffit de remarquer que \[
\int_{\R^n} | P(x)\varphi(x) | dx \leq \int_{\R^n} |P(x) Q(x) \varphi(x) |\,\Big|\frac{1}{Q(x)}\Big| dx \leq \| P(x)Q(x) \varphi(x) \|_\infty \Big\|\frac{1}{Q(x)}\Big\|_1
\] Il suffit donc de choisir un polynôme $Q$ adapté. -
Merci Tryss. On peut dire sur $Q$ qu'il est un polynôme qui n'a pas de racine et tel que $\dfrac{1}{Q} \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ?
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Disons que ça n'est pas dur à trouver. Sur $\R$, on peut prendre $Q(x) = 1+x^2$ par exemple
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On peut donc formuler cette condition suffisante sous la forme d'un lemme qui dit ceci:
Lemme: Soit $f \in L^1_{loc}(\R^n)$. Si de plus $f$ est majorée par un polynôme $P$, alors $f$ est un élément de $S'(\R^n)$.
Cette formulation est correcte?
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Bonjour!
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