Enveloppe convexe dans une $C^*$-algèbre
Bonjour,
Soit $A$ une $C^*$-algèbre non unitale, $S_A$ l'ensemble de ses états et $Q$ l'ensemble des formes positives sur $A$ de norme $\leq 1$.
Question : montrer que $Q$ est l'enveloppe convexe de $\{0\}$ et $S_A$.
Voici l'idée
Je dis (mais je ne suis pas du tout sûr de moi) que cette enveloppe s'écrit $c0(\{0\} \cup S_A) = \{\lambda \varphi : 0 \leq \lambda \leq 1, \varphi \in S_A\}$.
Auquel cas :
$c0(\{0\} \cup S_A) \subset Q$ car pour $\varphi \in S_A$ et $0 \leq \lambda \leq 1$, on a $\|\lambda \varphi\| \leq \lambda \|\varphi\| \leq \lambda \leq 1$.
Réciproquement $Q \subset c0(\{0\} \cup S_A)$ car si $\varphi \in Q$ et $\varphi = 0$ c'est fini. Si $\varphi \neq 0$, on pose $\psi = \frac{\varphi}{\|\varphi\|} \in S_A$. D'où $\varphi = \|\varphi\| \psi \in c0(\{0\} \cup S_A)$
Cordialement
Soit $A$ une $C^*$-algèbre non unitale, $S_A$ l'ensemble de ses états et $Q$ l'ensemble des formes positives sur $A$ de norme $\leq 1$.
Question : montrer que $Q$ est l'enveloppe convexe de $\{0\}$ et $S_A$.
Voici l'idée
Je dis (mais je ne suis pas du tout sûr de moi) que cette enveloppe s'écrit $c0(\{0\} \cup S_A) = \{\lambda \varphi : 0 \leq \lambda \leq 1, \varphi \in S_A\}$.
Auquel cas :
$c0(\{0\} \cup S_A) \subset Q$ car pour $\varphi \in S_A$ et $0 \leq \lambda \leq 1$, on a $\|\lambda \varphi\| \leq \lambda \|\varphi\| \leq \lambda \leq 1$.
Réciproquement $Q \subset c0(\{0\} \cup S_A)$ car si $\varphi \in Q$ et $\varphi = 0$ c'est fini. Si $\varphi \neq 0$, on pose $\psi = \frac{\varphi}{\|\varphi\|} \in S_A$. D'où $\varphi = \|\varphi\| \psi \in c0(\{0\} \cup S_A)$
Cordialement
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il est clair que tout convexe contenant $\{0\} \cup S_A$ contient aussi $ \{\lambda \varphi : 0 \leq \lambda \leq 1, \varphi \in S_A\}$, donc $c0(\{0\} \cup S_A)$ contient $ \{\lambda \varphi : 0 \leq \lambda \leq 1, \varphi \in S_A\}$.
Réciproquement, $Q$ est convexe et contient $\{0\} \cup S_A$ donc il contient $c0(\{0\} \cup S_A)$.
J'ai fait l'erreur de dire que l'enveloppe convexe d'une réunion d'ensembles $K \cup L$ est l'ensemble des combinaisons linéaires de la forme $\lambda\varphi_1 + (1-\lambda) \varphi_2 : 0 \leq \lambda \leq 1, \varphi_1 \in K, \varphi_2 \in L$. Mais cela n'est vrai que pour des convexes. Or $S_A$ ne l'est pas.