Espaces métriques et milieux

Bonjour,

Sauriez-vous dans quel domaine (ou quel livre) je pourrais trouver des questions (et des réponses, ou des éléments de réflexion) de ce style:

Soit $E$ un espace muni d'une topologie et soit $M$ une fonction continue de $E\times E$ dans $E$. Sous quelles conditions existe-t-il une métrique $d$ sur $E$ telle que pour tout $a,b\in E$, $M(a,b)$ est le milieu antre $a$ et $b$, i.e., $2d(a,M(a,b))=d(a,M(a,b))+d(b,M(a,b))=d(a,b)$ ?

Toujours dans l'espace topologique $E$, si je définis, pour chaque $a,b\in E$, un chemin $\gamma_{a,b}:[0,1]\to E$, continu, tel que $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$, sous quelles conditions existe-t-il une métrique $d$ sur $E$ telle que pour tout $a,b\in E$, $\gamma_{a,b}([0,1])$ est une géodésique entre $a$ et $b$ ?

(Je ne connais pas grand chose sur les espaces métriques et la notion de géodésique, c'est pourquoi je définirais la notion de géodésique entre deux éléments $a$ et $b$ d'un espace métrique $(E,d)$ comme l'image d'un chemin $\gamma:[0,1]\to E$, continu pour la métrique $d$, vérifiant $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$ et, pour tout $t\in [0,1]$, $d(a,b)=d(a,\gamma(t))+d(\gamma(t),b)$.)

Merci !