Delta de Dirac
Bonjour, je suis en train d'essayer de comprendre pourquoi les définitions suivantes du Dirac sont bel et bien équivalente : $$
\delta(x) = \lim_{a\rightarrow 0} \frac{1}{|a|\sqrt{\pi}} e^{-\left(\frac{x}{a}\right)^2}
$$ ou (la transformée de 1 sur $2\pi$) $$
\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{- \infty}^{\infty} e^{jxt}dt
$$ ou de manière plus courante $$\left\{
\begin{array}{l}
\delta(0) = \infty\\
\delta(x) = 0, \quad \forall x \neq 0\\
\int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1
\end{array}
\right.
$$ Je ne sais pas s'il y a des erreurs dans ce que je viens d'écrire. Je ne parviens pas à faire des liens entre ces différentes définitions. J'aimerais vraiment bien comprendre des deux dernières définitions car elles sont régulièrement utilisées dans le contrôle de système linéaire.
Merci d'avance pour votre aide.
\delta(x) = \lim_{a\rightarrow 0} \frac{1}{|a|\sqrt{\pi}} e^{-\left(\frac{x}{a}\right)^2}
$$ ou (la transformée de 1 sur $2\pi$) $$
\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{- \infty}^{\infty} e^{jxt}dt
$$ ou de manière plus courante $$\left\{
\begin{array}{l}
\delta(0) = \infty\\
\delta(x) = 0, \quad \forall x \neq 0\\
\int_{- \infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1
\end{array}
\right.
$$ Je ne sais pas s'il y a des erreurs dans ce que je viens d'écrire. Je ne parviens pas à faire des liens entre ces différentes définitions. J'aimerais vraiment bien comprendre des deux dernières définitions car elles sont régulièrement utilisées dans le contrôle de système linéaire.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Il s'agit d'une forme linéaire qui agit sur les fonctions continues (en fait, lisses à la base) et peut-être obtenue comme une limite 'faible" de fonctions lisses (comme ton premier exemple).
Essaie de démontrer que, pour toute fonction infiniment dérivable sur $\R$ à support compact $\varphi$, $\int_{\R} dx \varphi(x) \delta(x)=\varphi(0)$, ça justifie que le $\delta$ est bien une distribution de Dirac.
Soit $\delta(x) = \text{lim}_{\tau \rightarrow 0} \frac{u(x+\tau) - u(x-\tau)}{2\tau}$ avec $u(x)$ la fonction échelon unité.
On a donc
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \text{lim}_{\tau \rightarrow 0} \frac{u(x+\tau) - u(x-\tau)}{2\tau} f(x) dx$
Et comme la somme des limites est égal à la limite des sommes
$ = \text{lim}_{\tau \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u(x+\tau) - u(x-\tau)}{2\tau} f(x) dx $
$ = \text{lim}_{\tau \rightarrow 0} \frac{\int_{-\tau}^{\tau} f(x) dx}{2\tau} = \text{lim}_{\tau \rightarrow 0} \frac{F(\tau)-F(-\tau)}{2\tau}$
En posant $a=-\tau$ et $b=\tau$ et en faisant tendre $b-a \rightarrow 0$ on obtient la dérivée en 0 de la primitive F
$ = \text{lim}_{b-a \rightarrow 0} \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = F'(0) = f(0) \quad \square$
Alors voilà je trouve cette preuve satisfaisante. Mais bon je ne suis pas mathématicien mais en étude d'ingénieur civil donc je n'ai peut-être pas la rigueur de certain d'entre vous. Cependant dites moi ce que vous en pensez.
De cette égalité et de l'intégrale de Fourier, je pense que l'on peut alors déduire que
$$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \omega x} d \omega $$
En effet par la définition de l'intégrale de Fourier :
$\delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x') e^{-j \omega x'} dx' e^{j \omega x} d\omega$
Or par la propriété précédente l'intégrale de l'intérieur se résume à la valeur 1 et on obtient bien le résultat attendu.
Le problème c’est que la distribution de Dirac est une forme linéaire et pas une fonction. Et donc l’integrale que j’ai écrite et les tiennes n’ont pas de sens. Tu as deux solutions : soit tu prends un livre de maths et tu passes le temps nécessaire à apprendre et comprendre les distributions (ce n’est pas difficile), soit tu fais comme tout le monde en école d’ingénieur, tu écris des trucs faux et souvent débiles mais qui, en suivant des régles obscures, te permet de trouver le résultat attendu. Ceci étant dit, ton cours en école d’ingénieur devrait définir proprement ce qu’est une distribution et démontrer assez proprement les propriétés de la distribution de Dirac.
Dans ce que tu as écrit il faut justifier l’inversion limite intégrale...
La somme des limites est égale à la limite de somme... n’est pas un théorème. Trouve un contre exemple.