Majoration du reste de la série exponentielle

jeffreyzi
jeffreyzi
dans Analyse
Bonjour à tous,

Je bloque sur une question depuis plusieurs heures... Je ne trouve rien sur le net alors que cela me semble très classique. Voici la question.
Montrer que : $ \displaystyle \forall n\in \N^*, \quad \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k!}\leq \frac{1}{n.n!}$.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre cette question avec des outils simples (séries numériques) ?

Réponses

  • moduloP
    moduloP
    Salut, $$
    \frac{1}{(k+1) (k+1)!} - \frac{1}{k k!} = \frac{k(k+1) +1}{(k+1)! (k+1) n} \geq \frac{1}{(k+1)!}
    $$ D'où : $$
    \sum_{k = n} ^\infty \frac{1}{(k+1)!} \leq \frac{1}{n n!}
    $$
  • Dom
    Dom
    Voilà ce que j'ai :

    $n \mapsto \sum_0^n 1/k!$ est croissante.

    $n \mapsto \sum_0^n 1/k! + 1/(n (n!))$ est décroissante.

    Ainsi ce sont deux suites adjacentes.
    On écrit l'encadrement de leur limite commune ($e$) puis on soustrait la première suite.

    Cela donne la majoration que tu souhaites.
  • bisam
    bisam
    Une 3ème que j'aime bien, pour la route :

    Pour tout entier $k\geq n+1$, on a : $$k! = n! \prod_{j=n+1}^k j \geq n! \times (n+1)^{k-n}$$ par conséquent, en majorant par la somme d'une série géoémtrique, on a immédiatement $$\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{n!} \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^{k-n}} = \frac{1}{n!}\times \frac{1}{n+1}\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n! \; n}$$
  • Dom
    Dom
    Ha oui tiens ! Je ne connaissais pas cette astuce. Presque magique dans sa simplicité.
  • jeffreyzi
    jeffreyzi
    Bonsoir à tous les trois,

    Un grand merci pour ces trois méthodes et pour la rapidité de vos réponses ! Je suis soulagé et heureux d'y voir plus clair.

    A bientôt !
  • P.
    P.
    En derivant en $x$ on voit que $$\sum _{k=n+1}^{\infty}e^{-x}\frac{x^k}{k!}=\int_0^xe^{-u}\frac{u^n}{n!}du$$ et donc en integrant par parties avec $U=e^{1-u}u$, $V'=u^{n-1}$ et $V=u^n/n$
    $$\sum _{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k!}=\int_0^1e^{1-u}\frac{u^n}{n!}du=\frac{1}{n(n!)}\left(1-\int_0^1e^{1-u}(1-u)u^ndu \right)\leq \frac{1}{n(n!)}.$$
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