État fidèle d'une $C^*$ algèbre séparable
Bonjour
Soit $A$ une $C^*$-algèbre séparable. J'aimerais montrer qu'elle admet un état fidèle.
Comme $A$ est un Banach séparable, la boule unité fermée $B_{A^*}$ du dual est métrisable dans la topologie préfaible. Le théorème de Banach-Alaoglu nous dit qu'elle est aussi compacte dans cette topologie. par conséquent elle y est séparable.
Le sous-ensemble $S_A$ des états est donc séparable.
Soit $(\varphi_n)_{n=1}^\infty$ une suite dénombrable dense de $S_A$.
Pour continuer et montrer que $\varphi = \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_n}{2^n}$ est un état fidèle, j'ai besoin de montrer que les états $\varphi_n$ sont eux-mêmes fidèles.
Quelqu'un peut-il me donner une indication ?
Merci d'avance.
Soit $A$ une $C^*$-algèbre séparable. J'aimerais montrer qu'elle admet un état fidèle.
Comme $A$ est un Banach séparable, la boule unité fermée $B_{A^*}$ du dual est métrisable dans la topologie préfaible. Le théorème de Banach-Alaoglu nous dit qu'elle est aussi compacte dans cette topologie. par conséquent elle y est séparable.
Le sous-ensemble $S_A$ des états est donc séparable.
Soit $(\varphi_n)_{n=1}^\infty$ une suite dénombrable dense de $S_A$.
Pour continuer et montrer que $\varphi = \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_n}{2^n}$ est un état fidèle, j'ai besoin de montrer que les états $\varphi_n$ sont eux-mêmes fidèles.
Quelqu'un peut-il me donner une indication ?
Merci d'avance.
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Réponses
Alors supposons que pour un $a \in A$, $\forall n \in \mathbb N^*, \varphi_n(a^*a) = 0$. Ce que je peux dire est que vue la densité préfaible des $\varphi_n$ dans $S_A$, $\varphi(a^*a) = 0$ pour tout $\varphi \in S_A$.
Je ne vois pas comment continuer. Peut-être est-ce une mauvaise piste ?
$A$ étant un Banach séparable, la boule duale $(B_{A^*}, w^*)$ est métrisable. Puis par le théorème de Banach-Alaoglu, elle est $w^*$-compacte. On en déduit que $(B_{A^*}, w^*)$ est séparable.
Donc en tant que sous-ensemble, $S_A \subset B_{A^*}$ est séparable pour la topologie $w^*$.
Soit alors $(\varphi_n)_{n=1}^\infty$ une suite dense dans $S_A$, montrons que $\varphi = \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi_n}{2^n}$ est un état fidèle.
$\varphi$ est bien défini puisque $\|\varphi\| \leq \sum_{n=1}^\infty \|\frac{\varphi_n}{2^n}\| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1$.
Comme $A^*_+$ est fermé, la limite $\varphi$ est positive.
De plus en posant $\varphi^N = \sum_{n=1}^N \frac{\varphi_n}{2^n}$ et soit $(e_n)_{n\in \mathbb N^*}$ une unité approchée, on a $\lim_N \lim_i \varphi^N(e_i) = \lim_N \lim_i \sum_{n=1}^N \frac{\varphi_n (e_i)}{2^n} = \lim_N \sum_{n=1}^N \lim_i \frac{\varphi_n (e_i)}{2^n} = \lim_N \sum_{n=1}^N \frac{1}{2^n} = 1$. D'où $\|\varphi\| = \lim_i \lim_N \varphi^N(e_i) = 1$. Donc $\varphi \in S_A$.
Enfin si pour un $a \in A$, $\varphi(a^*a) = 0$, on aurait $\varphi_n(a^*a) = 0$ pour tout $n$. par densité des $\varphi_n$ on aurait $\varphi(a^*a)= 0$ pour tout $\varphi \in S_A$. De même si $\varphi \in A^*_+ \setminus \{0\}$, $\frac{\varphi(a^*a)}{\|\varphi\|} = 0$. Enfin comme tout $\varphi \in A^*$ se décompose en somme de 4 fonctionnelles positives, on aurait $\varphi(a^*a) = 0$ pour tout $\varphi \in A^*$. D'où $a^*a = 0$.
$\varphi$ est donc un état fidèle.
En ce qui concerne ton interversion de limites : oui on peut intervertir, cela vient de la croissance de la suite $(\varphi^N)$. Si on veut être rigoureux il faudrait utiliser des $\epsilon$.