Recouvrement de R

Oui, tu peux. Par exemple, par récurrence :

On défini $u_1 = 0$ et :
$U_n = \bigcup_{k < n} ]r_k-\frac{1}{k}, r_k+\frac{1}{k}[$
$r_{2n} = \inf U_{2n}$
$r_{2n+1} = \sup U_{2n+1}$

Et si on veut une énumération de tout les rationnels, on modifie légèrement ça, en intercalant une énumération des rationnels qui ne sont pas énumérés :

On défini $a_1 = 0$ et :
$U_n = \bigcup_{k < n} ]a_k-\frac{1}{2k}, a_k+\frac{1}{2k}[$
$a_{2n} = \inf U_{2n}$
$a_{2n+1} = \sup U_{2n+1}$

Puis, on prend $(b_n)$ une énumération de $\mathbb{Q} \backslash \{ a_k, k\in \mathbb{N} \}$, et alors

$u_2n = a_n$ et $u_{2n+1} = b_n$ convient.

En gros : tu prends les morceaux dans l'ordre, tu mets le premier au milieu, puis tu mets le milieu du second morceau au premier point non recouvert à droite, puis le milieu du troisième morceau sur le premier point non recouvert à gauche, etc. Et tu va finir par recouvrir tout $\mathbb{R}$ : à chaque fois que tu rajoutes un morceau, tu rallonges la surface couverte de ce coté par la moitié de la longueur du morceau, la série des $\frac{1}{2n}$ ($\frac{1}{4n}$ pour le second cas) étant divergente, tu va couvrir une longueur infinie .