Délai dans le modèle de Verhulst

Bonsoir,
Je suis dans la situation où je considère une population de cerfs mesurée tous les ans (delta t = 1 an).
L'accroissement de la population dans une zone donnée dépend de la végétation disponible.
La végétation disponible est celle qui n'a pas été mangée par les cerfs l'année d'avant, il y a donc un délai d'un an à considérer.
J'ai essayé de modéliser le phénomène avec le modèle de Verhulst sans délai, c'est-à-dire avec trois niveaux de temps. En notant N(t) l'effectif de la population à l'instant t, j'ai obtenu :

N(t+delta_t) - N(t) = delta_t . N(t) . ( a - b.N(t - delta_t) )

En divisant par delta_t, puis en faisant tendre delta_t vers 0, j’obtiens l'équation différentielle suivante :
N'(t) = N(t) . ( a - b. N(t) ).
Mais ceci est la même équation différentielle que dans le modèle de Verhulst sans délai, y a-t-il une erreur quelque part ??

Si par contre, je ne veux pas modéliser le phénomène avec les équations différentielles (c'est-à-dire en replaçant delta_t par sa valeur qui est 1, j aurai une équation avec du N(t+1), N(t) et N(t-1)). Sachant que je ne peux pas utiliser des suites numériques car t appartient à R. Comment faire pour résoudre cette équation et obtenir N(t) ??