Développement limité mais pas série

Jean-Claude · August 2018

On sait que si f est une fonction de IR dans IR, indéfiniment dérivable sur un intervalle
ouvert I contenant 0, pour tout entier n, f admet un développement limité d’ordre n en 0. Mais on sait aussi que ce développement n'engendre pas directement un développement en série de la fonction f.
On connait l'exemple, un peu "triste" car le développement en série associé est 0
$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ en 0
Connaissez-vous d'autres exemples plus "émoustillants">
Merci

Math Coss · August 2018

$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}+\sin x$ ?

GaBuZoMeu · August 2018

Toute série formelle est la série de Taylor d'une (en fait, d'une infinité) de fonctions $C^\infty$ au voisinage de l'origine. C'est un théorème de Borel.

PS. Un exemple historique fameux est la série $\sum_{n} (-1)^n n!\,x^{n+1}$ qui est la série de Taylor d'une solution de l'équation d'Euler
$$x^2\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}+y=x\;.$$
Voir ici, exemple 2.2.4.

Jean-Claude · August 2018

Merci pour les réponses

Développement limité mais pas série

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