Rédaction rigoureuse

AlphaNico
AlphaNico
dans Analyse
Bonjour à tous,

Je souhaiterais déterminer, si elle existe, la limite en $(0,0)$ de la fonction $f$ définie par :
$$ f(x,y) = \frac{\ln(1+xy)}{\ln(1+x)\ln(1+y)} $$
L'idée étant que le numérateur se comporte comme $xy$ et le dénominateur pareil, donc,
je pense que la limite vaut $1$, mais je ne sais pas comment le rédiger rigoureusement.

Quelqu'un peut-il me dire si j'ai raison, et si oui, comment en faire une preuve rigoureuse ?

Merci par avance pour votre aide,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    En utilisant des équivalents, c'est immédiat (quand (x,y) tend vers (0,0), x, y et xy tendent vers 0).

    Cordialement.
  • AlphaNico
    AlphaNico
    Bonjour Gerard0,

    Merci pour ta réponse !

    Ce qui me gêne dans l'utilisation des équivalents, c'est que ceux-ci dépendent
    de deux variables, mais cela n'est peut-être pas un problème ?

    $\alpha$-Nico
  • Cyrano
    Cyrano
    En effet, tu dois prouver que si $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ alors $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(xy)}{g(xy)} = 1$.
  • TomasV
    TomasV
    Au dénominateur ce sont les fonctions d'une seule variable donc Log(1+x)~x et Log (1+y)~y .
    Ensuite tu poses u(x,y)=xy et tu cherches la limite de Log(1+u)/u = 1
  • bisam
    bisam
    Une autre façon de redire ce qui a été dit :
    Si on pose $h:x\mapsto \frac{\ln(1+x)}{x}$ alors on sait que $h$ admet pour limite 1 en 0.
    On remarque alors que pour tout $(x,y)$ intéressant, $f(x,y)=\frac{h(xy)}{h(x)h(y)}$.
    On peut alors conclure par composition de limites et par opérations sur les limites.
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