Formulation faible pour Helmholtz hétérogène

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un projet d'études, j'ai pour tache de résoudre un problème du type Helmholtz discontinu pour modéliser les champs électromagnétiques dans un micro ondes, ce par la méthodes des éléments finis.

Voici l'énoncé tel qu'il est présenté :

En version Helmholtz il s’agit de résoudre un problème du type:
Trouver u une fonction définie sur l’ouvert $\Omega$ à valeur dans $\mathbb{C}$ tel que

$$\omega^2\mu u+\nabla \cdot \frac{1}{\epsilon}\nabla u =0 \in \Omega$$

avec des données aux bord imaginaires.
[...]
Le projet est la résolution de 2 équations découplées avec les données suivantes $\epsilon$ = 1 dans l’air et $\epsilon$ = 4 dans la viande.

Étant donné que l'on se trouve dans le cadre d'une simulation de micro-ondes, on peut supposer que l'on des conditions de Dirichlet homogènes sur les bord du domaine, noté $\Gamma_{ext}$ (u=0 sur $\Gamma_{ext}$)

Comme l'objectif du projet est de résoudre ce problème par la méthode des éléments finis, j'ai donc cherché une formulation faible du problème qui soit bien posée, qui sera par la suite discrétisée dans le s.e.v. engendré par les fonctions de base de l'élément fini choisi ($P^1$ pour l'instant)

Après calculs (multiplication par une fonction test, intégration sur $\Omega$, séparation des intégrales en deux sous intégrales, application de la formule de Green, "recollage" des intégrales..), j'obtiens la formulation variationnelle suivante :

Trouver u $\in H^1_0(\Omega)$ tq :

$$
\int_\Omega (\omega^2\mu u\overline{v} - \frac{1}{\epsilon}\nabla u \nabla \overline{v})d\Omega + [\frac{1}{\epsilon}]_{\Gamma_{int}}\int_{\Gamma_{int}}\nabla u\overline{v} dS_{int}=0,\ \ \ \forall v \in H^1_0(\Omega)
$$
où $\Gamma_{int}$ est l'interface surfacique entre les deux domaines de permittivité electrique différentes

Etant donné que $\epsilon$ est non-nul et strictement positif de même que $\omega$, on ne va pas pouvoir démontrer les hypothèses du thèorème de Lax Milgram.

Du coup je suis bloqué (depuis beaucoup trop de temps à mon gout) par les trois soucis suivants :

- La formulation variationnelle que j'ai obtenue est elle juste ou complètement fausse ?
- Si celle-ci est juste,comment pourrais-je prouver que le problème est bien posé ?
- L'objectif du projet étant la résolution numérique de ce problème, est-ce que je ne me pose pas trop de questions sur la "justesse"ou le côté "bien posé" du problème?

Merci d'avance