Série de Fourier

aléa · August 2018

Sauf erreur de ma part, on a pour $n$ entier avec $n\ge 2$:

$$\lim_{N\to +\infty}\sum_{k=-N}^N \frac{(-1)^k}{kn-1}=\frac{\pi/n}{\sin(\pi/n)}$$

Quelqu'un saurait le montrer à l'aide d'une série de Fourier ou un truc du genre ?

Cyrano · August 2018

Il semble naturel de tenter un développement de $x\mapsto |\sin(x/n)|$ sur $[0,2\pi]$ non ?

P. · August 2018

Soit $a$ un reel non entier. Si $f(x)$ est la fonction $2\pi$- periodique definie par
$$f(x)=\frac{\pi}{\sin \pi a}e^{iax}$$ si $-\pi<x<\pi$ alors
$$\frac{(-1)^k}{k+a}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}f(x)dx,$$ ce qu'on peut appliquer au cas $a=-1/n.$

aléa · August 2018

Merci !

Série de Fourier

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