Continuité et différentiabilité de fonction

Miniportecle · August 2018

Bonjour,
J'ignore si mon précédent post a été publié vu que j'ai fait une mauvaise manipulation, je pensais avoir envoyé mais je ne le vois pas dans la liste des nouveaux sujets.

Voici une fonction que [dont] je dois étudier la continuité et la différentiabilité : $$
f(x,y) = \begin{cases}
y^2 + 2x,&\text{si }y \ge x \\
2x^2 + y,&\text{si }y<x.
\end{cases}
$$ Voici mon raisonnement, pour la différentiabilité, je cherche les dérivées partielles de la fonction et j'étudie leur continuité, si elles sont continues alors la fonction est différentiable.

J'ai donc $\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2$ si $y \ge x$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 1$ si $ y<x$.

Le problème réside dans l'étude de la continuité. Je dirais qu'à priori toutes les fonctions sont continues par somme et produit de fonctions continues dans $\mathcal{R}$. D'habitude, dans l'étude de fonction continue, il y a souvent un "point critique" (désolée pour l'abus de langage), souvent l'origine, où on ne connaît pas trop le comportement, dans cet exercice-ci, j'ignore comment résoudre. Est-ce la droite $y = x$ qui semble "poser problème" ?

Est-ce que je dois prendre un point $(a,b)$ tel que $b <a$ et regarder la limite de la fonction quand $b \rightarrow a$ et voir si c'est égal à $f(a,b)$ lorsque $b = a$ ?
Si oui, pour tous les points $(x,y)$ tels que $x = y$ la fonction n'est pas continue donc pas différentiable.

Merci d'avance !

paf · August 2018

Bonjour,

En effet, ce sont bien tous les points de la droite d'équation $y=x$ qu'il faut étudier attentivement. Ainsi, pour $a\in\mathbb R$ quelconque, il faut étudier les limites quand $(x,y)\to (a,a)$ en distinguant les cas $y\ge x$ et $y<x$. Note que ce n'est pas pareil que ce que tu proposes à la fin puisque ce que tu fais équivaut à chercher la limite quand $(a,y)\to (a,a)$, ce qui est seulement une façon particulière de tendre vers $(a,a)$ et ne suffirait pas à prouver l'existence et la valeur de la limite quand $(x,y)\to (a,a)$ car celle-ci réclame un résultat valable quand on s'approche de $(a,a)$ **dans toutes les directions**.

Par contre, il est vrai que si $(a,y)\to (a,a)$ **et $a\notin \{a=a^2\} =\{0;1\}$** alors $f(a,y)$ tend vers $a^2+2a$ quand $y\to a^+$ et vers $2a^2+a$ quand $y\to a^-$ donc c'est fichu pour la continuité en ces points (un contre-exemple suffit).

rakam · August 2018

Bonsoir !
Si tu supposes $(a,b)\in\R^2,\;a\neq b$, par exemple $a>b$ tu peux trouver une boule ouverte $B((a,b),r)$ telle que $(x,y)\in B((a,b),r)\implies x>y$.
Tu peux alors montrer sans difficulté qu'en un tel point, la fonction est $C^1$ ce qui suffit.

En revanche, si $a=b$, dans tout voisinage il existe un point $(x,y)$ tel que $y<x$ et, pour ce point, $f(x,y)=2x^2+y$.
En cherchant $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b),x>y}f(x,y)$ tu peux déceler les points $(a,a)$ où il n'y a pas continuité (ce qui ne veut pas dire que pour les autres points, tout ira bien).

Et quand il y a continuité tu fais un calcul analogue pour la différentiabilité en n'oubliant pas que l'existence des dérivées partielles est une condition nécessaire et que tu connais d'avance la fonction différentielle.

Miniportecle · August 2018

Merci à tous

Voici ce que j'ai fait : pour tout $a \in \R\setminus \{0, 1\}$, on a que pour tout $(x,y) \in \R^2$ tel que $y \ge x$,
$ A = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} y^2+2x = a^2+2a$.
Faisons pareil pour $y<x$,
$B = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\rightarrow (a,a)} 2x^2+y = 2a^2 + a$.
On a donc que $A \ne B$ donc $f$ n'est pas continue en $(a,a)$ pour $a \in \R\setminus \{0,1\}$.

Il me reste à étudier la continuité de la fonction aux points $(0,0)$ et $(1,1)$, c'est bien ça ? En suivant la même méthode ? (et normalement, on trouve que c'est continu en ces points-là si je ne me trompe).

rakam · August 2018

Que veux-tu dire par "suivant la même méthode "?
A mon avis tu dois étudier la différence $|f(x,y)-f(0,0)|$ et majorer convenablement au voisinage de $(x,y)=(0,0)$.
Puis la différence $|f(x,y)-f(1,1)|=|f(1+u,1+v)-f(1,1)|$ et majorer pour $(u,v)$ au voisinage de $(0,0)$.
(une suggestion : pour $|z|\leqslant1$ on a $|z^2\leqslant|z|$...)
Remarque : comme tu sembles débuter dans ce genre de calculs, "voisinage de $(0,0)$" nécessite la définition d'une norme et tu peux choisir, parmi les normes usuelles, celle qui te semble la plus facile à utiliser !

Miniportecle · August 2018

@rakam

Ah oui, c'est vrai, ce que j'ai fait plus haut n'est valable que pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point…

Sinon j'ai une autre question, je dois également étudier la continuité et la différentiabilité de cette fonction :

pour la fonction $f(x,y) = \begin{cases} \frac{\sin xy}{xy} &\text{si $xy\neq 0 $} \\
1 &\text{sinon}\\ \end{cases}$.

Là j'imagine que les points potentiellement problématiques sont $(a,b)$ tels que $ab=0$. On a les cas où $A=(0,b)$ ou $B=(a,0)$ ou $O=(0,0)$.
Mais je n'arrive pas à montrer que c'est continue ou discontinue... Je prends donc un $(x,y)$ tel que $x \ne y$ et je regarde la limite quand cela tend vers $A$, $B$ et $O$. Si les limites existent et valent respectivement $f(A)$, $f(B)$ et $f(O)$ alors la fonction est continue en ces points ? Dans ce cas-ci, c'est bien continue en ces points, non ?
Et pour prouver que la limite existe, je reviens avec la définition de la limite avec les fameux $\epsilon$, $\delta$ mais dans le cadre de notre cours, on suppose que pour les limites usuelles (liste prédéfinie) comme $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ne doivent plus être remontrées avec la définition (même si ça reste un bon exercice à faire).

GaBuZoMeu · August 2018

La composée de deux fonctions continues est continue. Ne pourrais-tu pas appliquer ce fait bien connu à ton exemple ?
PS. Idem pour la différentiabilité.

Miniportecle · August 2018

@GaBuZoMeu

Oui mais dans ce cas, si je redéfinis la fonction comme ceci : $f(x,y) = 3$ pour tout $(x,y)$ tel que $xy=0$, la fonction n'est plus continue, non ? J'ai l'impression qu'en utilisant la composée de fonctions continues, c'est juste pour montrer la continuité des points "non problématiques" (dans ce cas-ci).
Ou quelque chose m'échappe…

GaBuZoMeu · August 2018

Puisqu'il faut mettre les points sur les i :
Que penses-tu de la fonction : $(x,y)\mapsto xy$ ?
Que penses-tu de la fonction
$$t\mapsto \begin{cases} \dfrac{\sin t}{t} &\text{si $t\neq 0 $} \\
1 &\text{sinon}\\ \end{cases}\;?$$
Que penses-tu de leur composée ?

Miniportecle · August 2018

@GaBuZoMeu

Merci, ça j'ai compris mais je ne comprends pas comment on étudie la continuité des points où $t=0$ justement.
Ou bien $(x,y) \mapsto 0$ est continue et $g(0) = 1$ est continue aussi donc $f$ est continue pour $xy =0$ ?

GaBuZoMeu · August 2018

Tu as du mal à démontrer que la fonction
$$t\mapsto \begin{cases} \dfrac{\sin t}{t} &\text{si $t\neq 0 $} \\

1 &\text{sinon}\\ \end{cases}\;?$$
est $C^\infty$ sur $\mathbb R$ (et même analytique, mais bon ...) ?

rakam · August 2018

@ Miniportecle
Désolé mais c'est à mon tour de ne pas comprendre !
Que vient faire la fonction constante $(x,y) \mapsto 0$ dans ce qui a été écrit ?
Que veut dire la phrase " $g(0) = 1$ est continue aussi " ?

Miniportecle · August 2018

Je définis

$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
$(x,y) \mapsto xy$

et $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$t \mapsto \begin{cases} \frac{\sin t}{t} & \text{si } t \ne0 \\
1 & \text{sinon} \end{cases}$

$f$ et $g$ sont continues sur leur domaine donc $g\circ f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ par composée de fonctions.
Ma question se porte sur la fonction $g\circ f$ au point $(0,0)$ dans le cas où je définis
$g_1 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$t \mapsto \begin{cases} \frac{\sin t}{t} & \text{si } t \ne0 \\
1 & \text{sinon} \end{cases}$
et
$g_2 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$t \mapsto \begin{cases} \frac{\sin t}{t} & \text{si } t \ne0 \\
3 & \text{sinon} \end{cases}$

rakam · August 2018

Le cas $g_1$ est exactement le cas $g$ que tu as défini en premier !
La fonction $g_2$ n'est pas continue en $0$ et aucun théorème de composition n'est utilisable. Mais il est vrai que $g_2{\circ}f$ n'est pas continue en $(0,0)$.

Miniportecle · August 2018

Bonjour,

Oui, je sais que $g = g_1$, j'ai réécrit pour insister sur le fait que je ne savais pas faire la différence avec $g_2$.
Je voulais juste savoir comment montrer que $g_2$ n'est pas continue justement en $(0,0)$.

GaBuZoMeu · August 2018

Tu te mélanges les pinceaux, $g_2$ n'est pas définie sur $\mathbb R^2$.
Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas. Fais un "control reset" et rédémarre à zéro. Tu verras peut-être mieux.

Math Coss · August 2018

Propriété facile : Si une fonction $g$ est continue en un point $p$, alors, pour toute suite $(u_n)$ qui converge vers $p$, la suite $(g(u_n))$ converge vers $g(p)$.

Pour montrer que $g$ n'est pas continue en $p$, il suffit donc d'exhiber une suite $(u_n)$ qui converge vers $p$ telle que $(g(u_n))$ ne converge pas vers $g(p)$. Vraiment pas dur !

Continuité et différentiabilité de fonction

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