Prolongement par continuité

Il faut (et cela suffit) que la limite existe et soit finie.
$x \to 1/x$ n’a pas de limite finie en $0$.

C'est aussi une histoire de domaine.

Je construis un exemple bête mais qui éclaire peut-être...

Je définis sur $E=]3;5[ \cup ]5;7[$ la fonction $f$ telle que : pour tout $x \in E$, $f(x)=8$.
Par définition, je ne peux pas savoir combien vaut $f(5)$ puisque la fonction $f$ n'est pas définie en $5$.
Et ça n'a même pas de sens d'écrire $f(5)$.
C'est "idiot" mais c'est le langage des fonctions (qui lui n'est pas idiot !) sur mon exemple bête.

Par contre, on démontre que $f$ a une limite à gauche, en $5$, qui vaut $8$ et une limite à droite, en $5$, qui vaut $8$. Ainsi, il est naturel de rajouter un élément (le réel $5$) dans le domaine de définition de $f$ et de lui attribuer la valeur $8$.

Remarque :
Attention : ce n'est plus la même fonction, je la note $g$.
Le domaine de $g$ est $F=]3;7[$. Ce n'est pas le même que le domaine de $f$.
La restriction de $g$ à $E$ est la fonction $f$ et on note $g_{|E}=f$.

Sur l'idée de la continuité (de la topologie usuelle d'une fonction numérique réelle) : en effet, l'idée est que la représentation peut se faire par un trait sans lever le crayon.
Mais c'est intuitif. Il existe des fonctions continues mais qui chahutent un peu cette idée, comme $h : \mathbb R_+^* \to \mathbb R$ telle que pour tout $x$ réel positif non nul, h(x)=x sin (1/x) $h(x)= \sin \left( \dfrac{1}{x} \right)$
En effet, la longueur de sa représentation graphique est infinie sur [0;1] $]0;1]$par exemple. Ça oscille une infinité de fois entre $0$ et $1$ sur cet intervalle donc la "longueur" entre chaque racine consécutive dépasse $2$...une infinité de fois.

Merci @GaBuZoMeu de garder ton œil aiguisé et aguerri.

En effet, je n'ai pas pu éditer hier soir...c'est n'importe quoi.
Je corrige.

Oui même si parfois on ne peut regarder que la limite à gauche (ou qu'à droite) si le domaine est de la forme $]b;c[$.

Oui, l'idée est que "ça bouche un trou", cela reste une idée intuitive.

1) Les fonctions continues par morceaux sont des fonctions où l'intervalle de définition J est subdivisé en plusieurs intervalles Ji et la fonction est continue sur chaque Ji . Elle n'est pas nécessairement continue aux bornes de Ji d'où "morceaux". P.ex une fonction en escalier est continue par morceaux . Ca s'utilise souvent pour les intégrales .
2) Oui .
3) C'est le but de la manœuvre . Au début il y a bien au trou mais si tu peux t'en approcher de plus en plus et ne tombes pas dedans alors tu mets un petit joint et il disparait .

Mon prof explique super mal

Je me méfie par principe de telles affirmations.

Une fonction $f:A\to B$, c'est un ensemble de départ $A$ (son domaine de définition), un ensemble d'arrivée $B$, et le graphe $G_f\subset A\times B$ tel que, pour tout $x$ de $A$, il existe un unique $y$ de $B$ tel que $(x,y)\in G_f$ ; ce $y$ est noté $f(x)$.

La restriction de $f$ à une partie $A'$ de $A$ est la fonction $g:A'\to B$ dont le graphe est $G_f\cap (A'\times $. Autrement dit, c'est la fonction $g$ qui a pour domaine de définition $A'$, même ensemble d'arrivée $B$, et telle que $g(x)=f(x)$ pour tout $x\in A'$.

En général appliqué à une fonction un majorant M est ce qui est plus grand que toute valeur que prend la fonction. I.e M >= f(x) pour tout x où f existe.
Un maximum est la plus grande valeur que prend la fonction. I.e f(x0) >= f(x) pour tout x où f existe .
P.ex la fonction f(x)= 0 partout a 1 pour majorant et 0 pour maximum.
Donc majorant >= maximum.

Pareil dans l'autre sens : minorant <= minimum.

Ben c'est une droite et va de - infini à + infini si tu prends |R comme ensemble de définition .
Alors il n'existe pas de réel qui soit un majorant ou minorant et de même elle n'a ni maximum ni minimum réel .

Tu as f(|R) = |R donc c'est comme si tu cherchais quel est le plus grand ou le plus petit nombre réel dans l'ensemble des réels . + infini est bien le plus grand mais ce n'est pas un nombre réel .