Une suite d'intégrales
Bonjour.
Je viens d'avoir affaire à la suite d'intégrales $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^{2}n\theta }{\sin ^{2}\theta }d\theta $.
Je crois avoir prouvé que $I_{n}\sim n\frac{\pi }{2}$ quand $n\rightarrow +\infty $.
Ma solution est un peu détournée, et je n'en dis pas plus, afin de voir si d'autres méthodes peuvent s'appliquer.
Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Je viens d'avoir affaire à la suite d'intégrales $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^{2}n\theta }{\sin ^{2}\theta }d\theta $.
Je crois avoir prouvé que $I_{n}\sim n\frac{\pi }{2}$ quand $n\rightarrow +\infty $.
Ma solution est un peu détournée, et je n'en dis pas plus, afin de voir si d'autres méthodes peuvent s'appliquer.
Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
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Réponses
D'avoir posé la question, ça m'a débloqué, et je viens de noter que : $\displaystyle I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (2n+1)\theta }{\sin\theta }d\theta $.
Je pense que ça peut aider.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Et alors c'est fait, mais j'espère que c'est bon.
Et il y a peut-être d'autres méthodes...
Bonne journée.
Fr. Ch.
Si je suis bien tes messages, on a en fait une égalité et pas seulement un comportement asymptotique.
Avec, pour tout $n$ entier, $\displaystyle I_n=\int_{0}^{\pi/2} d\theta {\sin^2 n \theta \over \sin^2 \theta}$, on montre d'abord l'existence car l'intégrale est impropre pour la borne $0.$ Puis on calcule $\displaystyle J_n = I_{n+1} - I_n=\int_{0}^{\pi/2} d\theta {\sin(2 n+1) \theta \over \sin \theta}$ par les formules trigonométriques connues et enfin, on calcule par les mêmes formules, $\displaystyle J_{n+1} - J_n = 0$ et conclut par $\displaystyle J_0=\pi/2$ et donc par sommation des termes de l'indice $0$ à $\displaystyle n-1$, $\displaystyle I_n = n \pi/2$ pour tout $n$ entier.
Je regarde les énoncés présentés dans une brochure à couverture orange : 1400 énoncés d'exercices oraux issus des concours d'entrée aux Grandes Écoles 2017, epistemon, 2018. Et dernièrement le n° 1167, p. 212 (Centrale, PSI).1. Pour tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, démontrer l'existence de l'intégrale $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin^{2}n\theta }{\sin ^{2}\theta }d\theta $.
2. Démontrer : $\displaystyle I_{n}\sim n\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin ^{2}t}{t^{2}}dt$ quand $n\rightarrow +\infty $.(avec d'ailleurs une erreur d'énoncé, le facteur $n$ ayant été omis).
Bien discipliné, je traite cet exercice tel qu'il a été posé, mais ensuite je suis pris d'un doute : il me semble avoir vu cette suite $I_n$ il y a longtemps, abordée bien différemment. Je cherche dans mon fourbi, et je ne retrouve rien. Je demande au forum, et en même temps je réfléchis, je me réponds moi-même, et je constate que ce n'est pas une équivalence mais une égalité.
Dès lors, l'exercice apparaît un peu sot. Mais en fait, l'association des deux approches fournit une démonstration de la valeur de l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin ^{2}t}{t^{2}}dt$ et par conséquent de l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{t}dt$ qui lui est égale. Démonstration peut-être bien laborieuse, mais inattaquable si tous les calculs sont exacts. Elle n'est pas sans ressembler à une autre bien connue, mais elle a sa particularité.
Qu'en dites-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
J’ai réussi à faire l’exercice. Il est intéressant car le calcul de $\displaystyle \int_0^{+\infty} {\sin^2 t\over t^2}dt$ n’est pas simple...
> $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin^{2}t}{t^{2}}dt$ et par conséquent de l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{t}dt$ qui lui est égale.
Je sais que la valeur de la 2ème est Pi/2 mais comment montre-t-on que les 2 intégrales sont égales stp ? Merci.
@totem : par intégration par partie.
As-tu une allergie aux écritures lisibles pour continuer à ne pas utiliser les signes dollars ?
Euh j'ai appuyé sur "citer" et sur rien d'autre, ça devrait suffire ...apparemment non ?
Non, ça ne suffit pas. Relis ton message. Relis tes derniers messages et pense à relire tes messages futurs.
En général "j'aime les maths " est équivalent à " j'aime l'informatique" je sais 8-)
J'ai rédigé une synthèse de tout ça, et comme j'ai le flemme de tout re-rédiger, je le mets en pièce jointe.
Il est piquant de constater que le calcul de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} {\sin^2 t\over t^2}dt $ est plus simple que celui de $\displaystyle \int_0^{+\infty} {\sin t\over t}dt $ par la méthode analogue, car ce dernier requiert la démonstration préalable du lemme de Riemann-Lebesgue (version $\mathcal C^1$), alors que dans le présent calcul, l'apparition du facteur $1 \over n$ dans le changement de variable aplanit les difficultés et conduit immédiatement au résultat.
Les maths c'est plein d'inattendu.
Bonne journée.
Fr. Ch.
De $\sin ^{2}n\theta=\dfrac12(1-\cos(2n\theta))$ on déduit $I_n-I_{n-1}=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }2}\frac{\sin (2n-1)\theta }{\sin\theta }d\theta=J_n$
puis $J_{n+1}-J_{n}=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }2}2\cos(2n\theta) d\theta=0$ si $n\geq1$
d'où $J_n=J_1=\dfrac{\pi}2$ et $I_n=n\dfrac{\pi}2$.
Ensuite $\dfrac1nI_n=\displaystyle \int_{0}^{n\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^{2}t }{n^2\sin ^{2}(t/n) }dt$ qui converge vers $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ^{2}t }{t^2} dt$ par le théorème de convergence dominée (domination à l'aide de $\sin(x)\geq\dfrac2{\pi}x$ sur $[0,\frac{\pi}2]$).
Maintenant pour l'énoncé tel quel, la solution de Jandri, avec le théorème de convergence dominée, est vraisemblablement ce qu'attendait l'auteur de l'énoncé, dans le cadre du programme de PSI. Cet auteur sait-il que $ I_n=n\frac{\pi }{2}$ ? Nous ne le saurons jamais ... Ma solution est plus élémentaire, mais elle nécessite une sorte de deus ex machina, l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin^{2}n\theta }{\theta ^{2} }d\theta$, qu'une autre rédaction de l'énoncé pourrait suggérer.
Et il faut bien noter que l'intérêt de tout ça, c'est de trouver la valeur des intégrales $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin ^{2}t }{t^2} dt$ et $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t }{t} dt $, qui n'est pas si
« laborieuse » que j'avais affirmé, car elle se révèle plus simple que la méthode analogue bien connue pour $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t }{t} dt $, qu'on voit par exemple ici : https://fr.wikiversity.org/wiki/Intégration_(mathématiques)/Devoir/Intégrale_de_Dirichlet. Je l'ai signalé dans mon message précédent.
Bonne journée à Jandri et à tous.
Fr. Ch.
20/08/2018
Merci pour la référence que je ne connaissais pas.
On y trouve une démonstration de la formule de Stirling (pour la fonction Gamma) que je ne connaissais pas sous cette forme.