Identification des coefficients
Bonjour amis mathématiciens.
Je lis un corrigé et il manque une étape, je veux la comprendre.
Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ telles que :
Pour tous $x \in\R\setminus \{-1;0\}$, on a : $\dfrac{1}{x(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$
Donc après ils mettent au même dénominateur donc j'ai ça:
$\dfrac{a+(a+b)x}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x(x+1)} $ et ils disent $a+(a+b)x=1$ ok là je suis d'accord, mais après je ne comprends pas pourquoi ils disent,
$a=1$ et $a+b=0$ Comment ils sont arrivés là ? Vous pouvez détailler ?
Merci.
Je lis un corrigé et il manque une étape, je veux la comprendre.
Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ telles que :
Pour tous $x \in\R\setminus \{-1;0\}$, on a : $\dfrac{1}{x(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$
Donc après ils mettent au même dénominateur donc j'ai ça:
$\dfrac{a+(a+b)x}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x(x+1)} $ et ils disent $a+(a+b)x=1$ ok là je suis d'accord, mais après je ne comprends pas pourquoi ils disent,
$a=1$ et $a+b=0$ Comment ils sont arrivés là ? Vous pouvez détailler ?
Merci.
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Réponses
Démonstration particulière :
Comme a+(a+b)x = 1 est vrai pour tout x, c'est vrai pour x=0, donc a=1 et on a 1+(1+b)x=1 pour tout x, en particulier pour x=1 etc..
Démonstration générale :
Deux polynômes à coefficients réels ou complexes qui ont une infinité de valeurs de la variable qui les rend égaux sont identiques (*), c'est-à-dire qu'ils ont les mêmes coefficients (**). ici on a a+(a+b)x=1+0x une infinité de fois, donc a=1 et a+b=0.
Cordialement.
(*) d'où le nom : méthode d'identification
(**) pour leur forme réduite et ordonnée.
1°) Pour tous x de R, privé de 1, $\dfrac{1+x}{1-x} = a+ \dfrac{b}{1-x}$
Je mets au même dénominateur, j'ai alors,
$\dfrac{a(1-x)}{1-x} +\dfrac{b}{1-x} = \dfrac{a(1-x)+b}{1-x}= \dfrac{a-ax+b}{1-x}= \dfrac{(a+b)-ax}{1-x}$
Par identification c'est sensé être égal et on doit avoir:
$(a+b)-ax=1+x$ et normalement $a+b=1$ et $-ax=x$ après je dois résoudre une équation,
je trouve $a=-1$ et alors si a=-1, on a $b=2$
Donc la solution à ça c'est,
$\dfrac{1+x}{1-x} = -1 + \dfrac{2}{1-x}$
C'est bon ?
2°) Déterminer trois réels a, b et c tels que :
Pour tous x de R privé de -1 , on a
$\dfrac{x^{2}}{1-x}= ax+b+\dfrac{c}{1+x}$
Je fais comme tout à l'heure, je mets au même dénominateur, alors j'ai,
$\dfrac{x^{2}}{1-x}=\dfrac{ax(x+1)}{1+x}+\dfrac{b(x+1)}{1+x}+\dfrac{c}{1+x}=\dfrac{ax^{2}+(a+b)x+(b+c)}{1+x}$ je fais une identification des coeffs et j'ai normalement :
$ax^{2}+(a+b)x+(b+c)=x^{2}$
J'ai alors $a=1, b=-1$ et $c =1$ donc la solution c'est:
$\dfrac{x^{2}}{1-x}= x-1+\dfrac{1}{1+x}$ C'est bon ?
Et je fais un dernier d'entrainement,
3°) Déterminer deux réels a et b tels que :
Pour tous x de R privé de -1 et 1 on a :
$\dfrac{1}{1-x^{2}}=\dfrac{a}{1+x}+\dfrac{b}{1-x}$ j'ai alors:
$\dfrac{a(1-x)}{(1+x)(1-x)}+\dfrac{b(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\dfrac{(a+b)+(b-a)x}{(1-x)(1+x)}$ ensuite par identification des coefficients on a alors:
$(a+b)+(b-a)x=1$
Et $(a+b)=1$ et $(b-a)x=0x$
Là je bloque
Aidez moi,
merci.
Vérifie le toi-même. Réduis au même dénominateur et simplifie.
Retrouves-tu l'expression initiale ?
Alain
Si tu fais correctement, tu trouveras tout de suite.
Si je dis $b-a=0$ alors $b=a$
alors $a+b=1$ <=> $2a=1$ et $a=1/2$ et $b=1/2$ aussi.
alors le résultat c'est :
$\dfrac{1}{1-x^{2}}=\dfrac{1/2}{1+x}+\dfrac{1/2}{1-x}$
et j'ai :
$\dfrac{1}{1-x^{2}}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}\Big)$ j'ai trouvé je crois B-) !!!
Vous êtes des boss, j'ai tout compris avec vous, je n'arrive pas à le croire, c'est moi, j'ai fait ça !
Je publie la consigne dans le prochain message
1) Pour le premier je crois la réponse c'est 1, ( je dois trouver une racine évidente) car $P(1)=1^{3} - 2^{2}-5+6=0$ Donc 1 est racine évidente.
Pour la deux j'ai dit:
2) On pose $Q(X)= aX^{2}+bX+c$ ça marche ou pas ?
Alors j'ai $P(X)=(X+2) ( aX^{2}+bX+c)$ Après faut développer,
$P(X)= (aX^{3}+bX^{2}+cX+2aX^{2}+2bX+2c)$ après je regroupe, j'ai alors :
$P(X)= (aX^{3}+(2a+b)X^{2}+(2b+c)X+2c)$ ok
Ensuite je fais identification des coefficients,
$P(X)= (aX^{3}+(2a+b)X^{2}+(2b+c)X+2c)=X^{3} - 2X^{2}-5X+6$
Alors,
$a=1$
$2a+b=- 2$
$2b+c=-5$
$2c=6$
Et j'ai $a=1 ; c=3 ; b= -4 $ C'est bon ?
Donc conclusion, on peut factoriser P sous la forme,
$P(X)=(X + 2)(X^{2}-4X+3)$ C'est bon ?
3) Et là pour la 3 je bloque ils disent " en déduire" le tableau de signe, donc c'est sensé être un truc évident mais je ne vois pas.
Aidez moi.
Merci.
C'est la consigne :
Soir $P(X)=X^{3}-2X^{2}-5X+6$
1) Déterminer une racine évidente du polynôme P.
2) Factoriser P sous la forme $(X+2)Q(X)$, où $Q$ est un polynôme de degré $2$
3)En déduire le tableau de signe de $P$ sur $\R$
4) Résoudre les inéquations $ln(x)^{3}-2ln(x)^{2}-5ln(x)+6>0$ et $e^{2x}-2e^{x}< 5-6e^{-x}$
Étudie le signe de chaque facteur.
Signe d’une fonction affine?
« signe » d’un trinôme du second degré?
( Je suis en ect)
$<=> x+2>0$
$<=> x>-2$
Et $(x^{2}-4x+3) > 0$
$(-4)^2-12=16-12=4$
$\delta= 4>0$ donc il y 2 racine
$x=\dfrac{-4-2}{2} =\dfrac{-6}{2}=-3$
Et l'autre solution c'est:
$x=\dfrac{4-2}{2} =\dfrac{2}{2}=1$
Donc c'est positif sur $] - infini; -3[$ et sur $[1: + infini[$ ( je sais pas comment on sait pour les crochets ? , ils sont bons , )
Et c'est négatif sur $ ]-3; 1[ $
Là je ne sais plus, aidez moi
Merci .
C'est en seconde qu'on voit les tableaux de signe. puis on y met des facteurs de degré deux en première.
Cordialement.
Cordialement.