0 puissance 0

Homo Topi · August 2018

Je viens de retomber sur un de mes vieux cours dans lequel le prof nous avait dit : "dans la formule du binôme de Newton, on choisit la convention $0^0 = 1$, mais $0^0$ n'existe pas en général".

Effectivement, si on veut utiliser $a^b = e^{b.ln(a)}$, on va avoir un problème. Mais la fonction $x^0$ peut être prolongée par continuité en $0$ en posant $0^0 = 1$, et si on veut des arguments plus algébriques, $0^0$ désigne le nombre d'applications de l'ensemble vide dans lui-même, et il y en a exactement une (l'application vide).

Ce que je voulais vous demander : connaissez-vous un contexte dans lequel il faut considérer que $0^0$ vaut autre chose que $1$ ?

Cyrano · August 2018

Je ne vois pas comme ça.
Cependant, on peut noter que si $\lim_{x\to 0^+} x^x =1$ par contre $\lim_{(x,y) \to (0,0), x,y>0} x^y$ n'existe pas.

Homo Topi · August 2018

Effectivement, j'ai vu des arguments sur la fonction $x^0$, même sur la fonction $0^x$ (houlà...), mais ta remarque est un excellent argument pour justifier qu'il n'y a pas de "valeur unique" à associer à $0^0$. Il faudrait que la fonction $x^y$ admette une limite unique en $(0,0)$ indépendante de la direction, et si dans certaines directions la limite n'existe même pas, on n'est pas près de s'en sortir.

ev · August 2018

Voici ce que j'écris dans mon cours pour essayer (sans grand espoir) d'en finir avec ce marronnier.
$ 0^0 $ est le nombre d'applications d'un ensemble à zéro élément vers un ensemble à zéro élément ce qui devrait clore le débat.

Toutefois.

L'écriture $ x^y $ se rencontre dans trois situations.
1. $ \begin{array}{rcl}
f_1~:~\mathbf R \times \mathbf N & \longrightarrow & \mathbf R\\
x & \longmapsto & f_1(x,n) = x^n
\end{array} $ où $ f_1(x,n) $ est défini par récurrence par \[ \forall x\in\mathbf R , \forall n\in \mathbf N, \; \left\lbrace \begin{array}{rcl} f_1(x,0)&=& 1\\
f_1(x,n+1)= xf_1(x,n)
\end{array} \right. \]
2. $ \begin{array}{rcl}
f_2~:~\mathbf R^* \times \mathbf Z & \longrightarrow & \mathbf R\\
x & \longmapsto & f_2(x,n) = x^n
\end{array} $ où $ f_2(x,n) $ est défini par \[ \forall x\in\mathbf R , \left\lbrace \begin{array}{lrcl}
\forall n\in \mathbf N, & f_2(x,n) &=& f_1(x,n)\\
\forall n\in \mathbf Z\setminus \mathbf N, & f_2(x,n) &=& \dfrac1{f_1(x,-n)}
\end{array} \right. \]
3. $ \begin{array}{rcl}
f_3~:~]~0~,~+\infty~[ \times \mathbf R & \longrightarrow & \mathbf R\\
x & \longmapsto & f_3(x,y) = x^y
\end{array} $ où $ f_3(x,y) $ est défini par \[ \forall x\in ]~0~,~+\infty~[, \forall y\in\mathbf R, \; f_3(x,y) = \exp(y\ln(x)). \]
4. À quoi on ajoute une quatrième situation, $ \forall y \in ]~0~,~+\infty~[, \; 0^y := \displaystyle\lim_{x\to0} x^y = 0 $.

Le lecteur est invité à vérifier que chaque fois que deux de ces quatre écritures ont un sens pour un couple $ (x,y) $, alors elles sont égales.

Parmi les quatre ensembles $ \mathbf R \times \mathbf N $, $ \mathbf R^* \times \mathbf Z $, $ ]~0~,~+\infty~[ \times \mathbf R $ et $ \{0\} \times ]~0~,~+\infty~[ $, le couple $ (0,0) $ n'appartient qu'au premier. De ce fait, $ 0^0 = f_1(0,0) = 1 $ sans aucune ambiguïté.

Si vous n'êtes pas convaincu que $ 0^0 = 1 $ avec ça, je n'ai plus d'argument.
Peut-être la batte de base-ball ou alors un gros chien. À voir.

e.v.

rakam · August 2018

Bonjour !
Si tu précisais que tu restes dans l'ensemble des entiers ?
Pas de problème, $0^0=1$ : définition d'un produit (opération associative) indexé par l'ensemble vide.

Les choses se gâtent si tu veux étendre la formule dans un autre ensemble, celui des réels par exemple...
Prends $u(x)=\exp(-1/x^2),\;v(x)=x^2$ : $u,v$ ont une limite nulle en $0$ mais la limite de $u^v$ n'est pas $1$.

ev · August 2018

@ rakam.

Je ne reste pas dans l'ensemble des entiers - qui pourrait très bien suffire d'ailleurs - si tu veux bien te donner la peine de me lire.

e.v.

[ Quelqu'un aurait un gros chien dont il ne saurait que faire ? ]

GaBuZoMeu · August 2018

ev a écrit:

$$\{0\} \times ]~0~,~+\infty~[$$

Les espaces sont vraiment dégueulasses (ça rime).
$$\{0\} \times {]~0~,~{+\infty}~[}$$
C'est-y pas mieux comme ça ?

Dom · August 2018

De toute manière, si on écarte le terme "convention", on doit définir...et une définition est une convention.

Il n'est pas plus naturel de penser que pour des entiers naturels (eux aussi) $a$ et $b$, $a^b$ est le nombre d'application d'un ensemble blablabla...

Tu as raison @ev, un gros chien est plus efficace pour adopter une convention ou une définition.

Cela dit, le message original n'est pas complètement faux : ça n'existe pas une application qui renvoie le vide sur le vide sauf à admettre que ça existe. Houlalalala je vais me faire engueuler et je l'avoue, c'est très polémique.
L'ensemble vide existe...par définition ou convention, comme on veut...

Bref. Les marrons repousseront en toutes saisons.

Edit : Ho purée, @GaBuZoMeu est revenu et va me tirer les oreilles, je le sens...mais il est d'humeur "pinsonne", il fait des rimes.

Tryss · August 2018

Du coup, $2^{-1} = 0$, puisqu'il n'existe pas d'applications d'un ensemble à -1 éléments vers un ensemble à 2 éléments :-D

Oui, je sais, $-1$ n'est pas un entier naturel, mais $0$ n'est pas non plus forcément un entier naturel partout sur terre B-)-

Math Coss · August 2018

À $\{0\} \times {]~0~,~{+\infty}~[}$, je préfère $\{0\}\times\left]0,+\infty\right[$.

ev · August 2018

OK pour les espaces, GaBu. Mais je ne te remercie pas.
Je vais avoir une tripotée d'accolades à garocher pour tout soit raccord.

@ rakam.

Effectivement, les choses se gâtent lorsqu'on essaye de prolonger là où ça ne se prolonge pas.
Mais est-ce bien surprenant ?

e.v.

Homo Topi · August 2018

Ben justement...

La fonction $(x,y) \longmapsto x^y$, si on pose qu'elle vaut $1$ en $(0,0)$... elle est quand même joliment continue, cette fonction, c'est bizarre qu'elle ne tend pas naturellement vers $1$ en $(0,0)$ si $1$ est effectivement la valeur naturelle de $(0,0)$.

C'est peut-être un peu trop de philo et pas assez de maths, ce que je dis, mais je trouve quand même légitime de dire que c'est perturbant que les fonctions continues qui valent $0^0$ quelque part n'y associent pas "proprement" la valeur $1$

gerard0 · August 2018

Effectivement, HomoTopi,

les mathématiques sont perturbantes, elles ne font pas ce qu'on veut. mais l'étude des mathématiques permet de faire de ces perturbations ... des connaissances :-)

Cordialement.

Dom · August 2018

Attention : elle n'est pas continue, elle $\left( (x;y) \mapsto x^y \right)$ n'a pas de limite en $(0;0)$. On peut poser que ça vaut $1$ ou ce que l'on veut justement. On peut trouver toutes les valeurs que l'on souhaite au voisinage de $(0;0)$.

Ne pas confondre avec $\left( x \mapsto x^x \right)$.

Edit : je considère le domaine de définition $\, \mathbb R_+^* \times \, \mathbb R$

Homo Topi · August 2018

Oui, elle n'est pas continue en $(0,0)$, je voulais dire qu'elle l'est partout ailleurs.

@gerard : je trouve ça amusant, de voir qu'un truc qui a l'air intuitif (fonction $x^y$ a priori gentiment continue, plein de raisons algébriques pour que $0^0 = 1$ soit la seule possibilité) ne fait absolument pas ce qu'on pourrait penser.

Poirot · August 2018

Si tu y réfléchis, la fonction $(x,y) \mapsto x^y$ n'est pas si gentille que ça. Mettre un réel à une puissance réelle ce n'est pas immédiatement évident. Il y a du logarithme derrière, et on se doute que vers $0$ ça peut commencer à foirer (et ne parlons pas des négatifs).