0 puissance 0
Je viens de retomber sur un de mes vieux cours dans lequel le prof nous avait dit : "dans la formule du binôme de Newton, on choisit la convention $0^0 = 1$, mais $0^0$ n'existe pas en général".
Effectivement, si on veut utiliser $a^b = e^{b.ln(a)}$, on va avoir un problème. Mais la fonction $x^0$ peut être prolongée par continuité en $0$ en posant $0^0 = 1$, et si on veut des arguments plus algébriques, $0^0$ désigne le nombre d'applications de l'ensemble vide dans lui-même, et il y en a exactement une (l'application vide).
Ce que je voulais vous demander : connaissez-vous un contexte dans lequel il faut considérer que $0^0$ vaut autre chose que $1$ ?
Effectivement, si on veut utiliser $a^b = e^{b.ln(a)}$, on va avoir un problème. Mais la fonction $x^0$ peut être prolongée par continuité en $0$ en posant $0^0 = 1$, et si on veut des arguments plus algébriques, $0^0$ désigne le nombre d'applications de l'ensemble vide dans lui-même, et il y en a exactement une (l'application vide).
Ce que je voulais vous demander : connaissez-vous un contexte dans lequel il faut considérer que $0^0$ vaut autre chose que $1$ ?
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Réponses
Cependant, on peut noter que si $\lim_{x\to 0^+} x^x =1$ par contre $\lim_{(x,y) \to (0,0), x,y>0} x^y$ n'existe pas.
\( 0^0 \) est le nombre d'applications d'un ensemble à zéro élément vers un ensemble à zéro élément ce qui devrait clore le débat.
Toutefois.
L'écriture \( x^y \) se rencontre dans trois situations.
1. \( \begin{array}{rcl}
f_1~:~\mathbf R \times \mathbf N & \longrightarrow & \mathbf R\\
x & \longmapsto & f_1(x,n) = x^n
\end{array} \) où \( f_1(x,n) \) est défini par récurrence par \[ \forall x\in\mathbf R , \forall n\in \mathbf N, \; \left\lbrace \begin{array}{rcl} f_1(x,0)&=& 1\\
f_1(x,n+1)= xf_1(x,n)
\end{array} \right. \]
2. \( \begin{array}{rcl}
f_2~:~\mathbf R^* \times \mathbf Z & \longrightarrow & \mathbf R\\
x & \longmapsto & f_2(x,n) = x^n
\end{array} \) où \( f_2(x,n) \) est défini par \[ \forall x\in\mathbf R , \left\lbrace \begin{array}{lrcl}
\forall n\in \mathbf N, & f_2(x,n) &=& f_1(x,n)\\
\forall n\in \mathbf Z\setminus \mathbf N, & f_2(x,n) &=& \dfrac1{f_1(x,-n)}
\end{array} \right. \]
3. \( \begin{array}{rcl}
f_3~:~]~0~,~+\infty~[ \times \mathbf R & \longrightarrow & \mathbf R\\
x & \longmapsto & f_3(x,y) = x^y
\end{array} \) où \( f_3(x,y) \) est défini par \[ \forall x\in ]~0~,~+\infty~[, \forall y\in\mathbf R, \; f_3(x,y) = \exp(y\ln(x)). \]
4. À quoi on ajoute une quatrième situation, \( \forall y \in ]~0~,~+\infty~[, \; 0^y := \displaystyle\lim_{x\to0} x^y = 0 \).
Le lecteur est invité à vérifier que chaque fois que deux de ces quatre écritures ont un sens pour un couple \( (x,y) \), alors elles sont égales.
Parmi les quatre ensembles \( \mathbf R \times \mathbf N \), \( \mathbf R^* \times \mathbf Z \), \( ]~0~,~+\infty~[ \times \mathbf R \) et \( \{0\} \times ]~0~,~+\infty~[ \), le couple \( (0,0) \) n'appartient qu'au premier. De ce fait, \( 0^0 = f_1(0,0) = 1 \) sans aucune ambiguïté.
Si vous n'êtes pas convaincu que \( 0^0 = 1 \) avec ça, je n'ai plus d'argument.
Peut-être la batte de base-ball ou alors un gros chien. À voir.
e.v.
Si tu précisais que tu restes dans l'ensemble des entiers ?
Pas de problème, $0^0=1$ : définition d'un produit (opération associative) indexé par l'ensemble vide.
Les choses se gâtent si tu veux étendre la formule dans un autre ensemble, celui des réels par exemple...
Prends $u(x)=\exp(-1/x^2),\;v(x)=x^2$ : $u,v$ ont une limite nulle en $0$ mais la limite de $u^v$ n'est pas $1$.
Je ne reste pas dans l'ensemble des entiers - qui pourrait très bien suffire d'ailleurs - si tu veux bien te donner la peine de me lire.
e.v.
[ Quelqu'un aurait un gros chien dont il ne saurait que faire ? ]
Les espaces sont vraiment dégueulasses (ça rime).
$$\{0\} \times {]~0~,~{+\infty}~[}$$
C'est-y pas mieux comme ça ?
Il n'est pas plus naturel de penser que pour des entiers naturels (eux aussi) $a$ et $b$, $a^b$ est le nombre d'application d'un ensemble blablabla...
Tu as raison @ev, un gros chien est plus efficace pour adopter une convention ou une définition.
Cela dit, le message original n'est pas complètement faux : ça n'existe pas une application qui renvoie le vide sur le vide sauf à admettre que ça existe. Houlalalala je vais me faire engueuler et je l'avoue, c'est très polémique.
L'ensemble vide existe...par définition ou convention, comme on veut...
Bref. Les marrons repousseront en toutes saisons.
Edit : Ho purée, @GaBuZoMeu est revenu et va me tirer les oreilles, je le sens...mais il est d'humeur "pinsonne", il fait des rimes.
Oui, je sais, $-1$ n'est pas un entier naturel, mais $0$ n'est pas non plus forcément un entier naturel partout sur terre B-)-
Je vais avoir une tripotée d'accolades à garocher pour tout soit raccord.
@ rakam.
Effectivement, les choses se gâtent lorsqu'on essaye de prolonger là où ça ne se prolonge pas.
Mais est-ce bien surprenant ?
e.v.
La fonction $(x,y) \longmapsto x^y$, si on pose qu'elle vaut $1$ en $(0,0)$... elle est quand même joliment continue, cette fonction, c'est bizarre qu'elle ne tend pas naturellement vers $1$ en $(0,0)$ si $1$ est effectivement la valeur naturelle de $(0,0)$.
C'est peut-être un peu trop de philo et pas assez de maths, ce que je dis, mais je trouve quand même légitime de dire que c'est perturbant que les fonctions continues qui valent $0^0$ quelque part n'y associent pas "proprement" la valeur $1$
les mathématiques sont perturbantes, elles ne font pas ce qu'on veut. mais l'étude des mathématiques permet de faire de ces perturbations ... des connaissances :-)
Cordialement.
Ne pas confondre avec $\left( x \mapsto x^x \right)$.
Edit : je considère le domaine de définition $\, \mathbb R_+^* \times \, \mathbb R$
@gerard : je trouve ça amusant, de voir qu'un truc qui a l'air intuitif (fonction $x^y$ a priori gentiment continue, plein de raisons algébriques pour que $0^0 = 1$ soit la seule possibilité) ne fait absolument pas ce qu'on pourrait penser.