Intégration par parties - TF
Bonjour,
dans le calcul de la transformée de Fourier de la dérivée d'une fonction, en faisant une intégration par parties : $$
\mathcal{F}(u')(\xi)=\int_\R e^{-ix\xi}u'(x)\,dx=\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_\R - \int_\R(-i\xi)e^{-ix\xi}u(x)\,dx=i\xi\mathcal{F}(u)(\xi).
$$ J'aimerais savoir comment on peut justifier la nullité du premier terme de l'intégration par parties, c'est-à-dire : $$
\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_\R=0.
$$ Faut-il prendre l'intervalle d'intégration sur $[-\infty,+\infty]$ : $$
\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_{-\infty}^{+\infty}=0\quad ?
$$ Quelles sont les conditions pour faire disparaître ce terme ?
Merci.
dans le calcul de la transformée de Fourier de la dérivée d'une fonction, en faisant une intégration par parties : $$
\mathcal{F}(u')(\xi)=\int_\R e^{-ix\xi}u'(x)\,dx=\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_\R - \int_\R(-i\xi)e^{-ix\xi}u(x)\,dx=i\xi\mathcal{F}(u)(\xi).
$$ J'aimerais savoir comment on peut justifier la nullité du premier terme de l'intégration par parties, c'est-à-dire : $$
\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_\R=0.
$$ Faut-il prendre l'intervalle d'intégration sur $[-\infty,+\infty]$ : $$
\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_{-\infty}^{+\infty}=0\quad ?
$$ Quelles sont les conditions pour faire disparaître ce terme ?
Merci.
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Réponses
Ici on suppose en tout cas que $u'$ est intégrable, ce qui implique (exercice facile, si on suppose de $u'$ également continue) que $u$ admet une limite en l'infini, et si on la suppose intégrable, cette limite ne peut être que $0$.
la longueur de la base valant $b_n$ et sa hauteur $h_n$ de telle sorte que $h_n= n$ et son aire vaut $\dfrac{1}{2^n}$.
Et remarquer que lorsqu'on intègre, on ne s'occupe que des aires ...
Et mea culpa du coup.
Si en $+\infty$, une fonction $f$ est intégrable et admet une limite, alors cette limite est nécessairement nulle.
Et c'est peut-être la clé pour ton problème, sous réserve que les hypothèses soient du style que
$u$ soit de classe $\mathcal C^1$, intégrable AINSI que sa dérivée première $u'$.
Tout ceci pour pouvoir écrire $u(x)=u(0)+\int_0^x u'(t)\mathrm{d}t$ afin de montrer que $u$ admet une limite en $+\infty$,
limite qui sera nécessairement nulle.
@petit-o
je ne suis pas contre une petite démo de l'implication :
$(\text{fonction $f$ intégrable et lim$\,\int_{0}^{x}\,f(t)dt = K$ quand $x\rightarrow +\infty$)}\quad\Rightarrow\quad(K=0)$
désolé si c'est évident
Je pense que ça peut se montrer à partir de la définition de la limite de $f$ : soit $\epsilon > 0$. Il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $t \geqslant a \Longrightarrow f(t) \geqslant l - \epsilon$. Essaie de découper $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} |f(t)| dt$ par rapport à $a$, tu devrais trouver une contradiction avec l'hypothèse d'intégrabilité de $f$...
pour la définition de la limite $L$ d'une fonction en $a$, ce n'est pas plutôt :
$\forall \epsilon > 0$ , Il existe $\delta > 0$ tel que $\forall t$
$(|t-a|\lt \delta) \Longrightarrow (|f(t)-L| \lt \epsilon)$ ?
Désolé de ne pas être très réactif, mais c'est la rentrée ...
[Edit 1 : suppression d'un paragraphe pour tenir compte de la remarque qui suit de Homo Topi ..., en espérant ne pas avoir tué l'exo]
> Attention, ce n'est pas ce qu'il a dit : il a dit que si $f$ vérifie $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} |f(t)| dt < \infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)= l$, alors $l=0$.
@Homo Topi
excuse moi pour le retard.
Je sèche un peu pour la démo de l'implication ci-dessus.
Si je pars de l'expression : $u(x)=u(0)+\int_0^x u'(t)\mathrm{d}t$ et que je veux faire un raisonnement par l'absurde en prenant $\displaystyle \lim_{x \to \infty} u(x)= l$ avec $l\neq 0$, je ne vois pas comment aboutir à une proposition fausse (en l’occurrence que $u(x)$ n'est pas intégrable).
Un peu d'aide serait la bienvenue.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)= L$ (supposée non nulle) :
alors pour $\epsilon>0$, il existe $A>0$ tel que pour tout $x >=A$, $|f(x)-L|\leq \epsilon$ en particulier pour $\epsilon=(1/2)*|L|>0$,
on a pour tout $x>=A, 0.5*|L|<=|f(x)|$, puis on intègre sur [A, H] et par comparaison on déduit que f n'est pas intégrable sur $[A;\infty[$
Est-ce que je peux écrire : $\int_{A}^{H} f(x) \text{d}x \geq \int_{A}^{H} 0.5 |L|\text{d}x$ avec $\int_{A}^{H} 0.5 |L|\text{d}x=0.5 |L|(H-A)$
qui tend vers l'infini quand $\displaystyle \lim_{H \to \infty} 0.5 |L|(H-A)= +\infty$, d'où on peut déduire que $f(x)$ n'est pas intégrable.
mais dans mon cas, precisé sur mon premier post, je dois prouver que :
$\bigg[u(x)e^{-ix\xi}\bigg]_\R=0$
Je me mélange les pinceaux : est-ce que je dois démontrer que $u'(x)$ est intégrable ou alors que $u(x)$ est intégrable ?
cordialement
Or, on a dit qu'une fonction intégrable admettant une limite en l'infini doit forcément avoir cette limite nulle. Donc il ne te reste plus qu'à montrer que $u$ admet une limite en l'infini, ce qui ne devrait pas être trop difficile partant de l'écriture $$u(x)=u(0)+\int_0^x u'(t)\mathrm{d}t$$ valable pour tout $x \in \mathbb R$, en n'oubliant pas les hypothèses.
$u(x)=u(0)+\int_0^x u'(t)\mathrm{d}t$
pardonnez mon manque de culture mathématique, avec si possible un peu d'aide pour clôturer ce fil.
(Edit: merci kawito, je corrige. )
tu veux peut-être dire : $$|u(x)|\leq \int_x^{x+1}(|u(t)|+|u'(t)|)dt\ \xrightarrow[x\to +\infty]{}\ 0$$ (c'est-à-dire quand $x$ tend vers l'infini) ?
Dans l'expression : $u(x)=u(0) + \displaystyle \int_0^x u'(t)dt$, si je pars de $\displaystyle \int_0^x u'(t)dt$, je peux écrire :
\begin{align*}
\lim _{x\rightarrow +\infty} \int_0^x u'(t)dt) &= \lim _{ x\rightarrow +\infty} \bigg(\int_0^x \lim _{h\rightarrow 0 }\dfrac{(u(t+h)-u(t)}{h} dt\bigg) \\
& = \lim_{h\rightarrow 0}\ \lim_{x\rightarrow +\infty} \bigg(\displaystyle \int_0^x \dfrac{u(t+h)}{h} dt\big) - \int_0^x \dfrac{(u(t)}{h} dt\bigg)
\end{align*}
Il faudrait pour conclure que les 2 dernières intégrales s'annulent quand $x$ tend vers l'infini, ce qui pourrait être le cas en faisant un changement de variables $t'=t+h$ pour la première intégrale.
J'en déduis alors que $$\lim _{x\rightarrow+\infty}u(x) = u(0).
$$ Cette démo est-elle correcte (j'ai utilisé le fait que l'intégrale d'une limite est la limite de l'intégrale et aussi le fait d'inverser les 2 limites) ? Si oui, il faudrait ensuite que je prouve que cette limite est nécessairement égale à 0.
Ça serait sympa d'avoir des remarques.
N'est-il pas clair pour toi que si $$u(x) = u(0) + \int_0^x u'(t) \,dt$$ et que $u'$ est intégrable sur $\mathbb R$ alors cette quantité admet une limite quand $x \to +\infty$ ?
justement, ça n'est pas clair, c'est pour cela que je demande de l'aide. Sois indulgent, je reprends les études et ça fait un bye que je n'ai pas retouché à l'intégration et aux TF.
J'ai eu la démo de @P. mais j'aurais aimé que tu me donnes la tienne (avec si $u'$ intégrable et $u(x)=u(0)+\int_{0}^{x}u'(t) \text{d}t$ , Alors $u(x)$ tend vers une limite quand $x\to \infty$).
Cordialement