Fréchet différentiabilité

ach89 · September 2018

Bonsoir à tous
Pouvez-vous m'aider à montrer que $F$ est Fréchet différentiable sur $W^{1,p}(\Omega).$ avec $1<p<q.$ et $\Omega$ un ouvert borné régulier de $R^{N}.$
où $F$ est défini par \[
\begin{array}{cccl}
F:& W^{1,p}_{0}(\Omega)&\longrightarrow &\mathbb{R}\\[-3pt]
&u&\longmapsto&\frac{1}{q}\int_{\Omega}f\vert u\vert^{q}\, d{x},
\end{array}
\] et sa dérivé $$
<F'(u), v>\,=\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x} , \quad \forall u, v \in W^{1,p}_{0}(\Omega)

$$ Soient $u, v\in W^{1,p}(\Omega)$
$F(u+v)-F(v)-\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}=\int_{\Omega} f(x)\vert u+v\vert^{q}\ d{x}-\int_{\Omega} f(x)\vert v\vert^{q}\ d{x}-\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}$

Mais après je ne vois pas comment m'en sortir car je voulais appliquer la définition de $F$ est différentiable au sens de Fréchet en $x_{0}\in U$ ssi $\exists L_{x_{0}}\in L(X,Y)$ tel que $$\frac{\Vert F(x_{0}+h)-F(x_{0}) -L_{x_{0}}(h)\Vert}{\Vert h\Vert_{X}}\xrightarrow[\Vert h\Vert\rightarrow 0]{} 0.
$$ Merci d'avance.

Poirot · September 2018

Ça part mal si tu calcules $$F(u+v)-F(v)-\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}$$ au lieu de $$F(u+v)-F(u)-\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}.$$ Au passage tu devrais renommer $v$ en $h$ pour ne plus faire ce genre d'oubli, et tu n'as pas précisé qui était $f$.

Ici, il te suffit de montrer que cette quantité est un $o(||v||_{W^{1,p}})$ quand $||v||_{W^{1,p}}$ tend vers $0$.

ach89 · September 2018

Oui @Poirot
$f$ une fonction continue bornée, mais après jene vois pas comment s en sortir d calcul

Poirot · September 2018

Eh bien commence par réécrire $$F(u+v)-F(u)-\int_{\Omega} f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x} = \frac{1}{q} \int_{\Omega} f(x)(|u(x)+v(x)|^q-|u(x)|^q - q|u(x)|^{q-2}u(x)v(x)) \,dx,$$ et essaye de comparer ça à $||v||_{W^{1, p}}$.

ach89 · September 2018

On peut utiliser Holder ,

$\vert F(u+v)-F(v)-\int_{\Omega}f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}\vert\leq \Vert f\Vert_{\infty}\frac{1}{q}\int_{\Omega}\vert u(x)+v(x)\vert^{q}\ d{x} +\Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert v(x)\vert^{q}\ d{x}+ \Vert f\Vert_{\infty}\int_{\Omega}\vert u(x)\vert^{q-1}v(x)\ d{x}.$
par les injections de Sobolev, la première intégrale est majoré par $\int_{\Omega}\vert u(x)+v(x)\vert^{q}\ d{x}\leq c\Vert u\Vert_{W^{1,p}}^{q}\Vert v\Vert_{W^{1,p}}^{q}.$ la deuxième intégrale $\int_{\Omega}\vert v(x)\vert^{q}\ d{x}\leq c\Vert v\Vert_{W^{1,p}}^{q}$ et pour la troisième $\int_{\Omega}\vert u(x)\vert^{q-1}v(x)\ d{x}\leq c\Vert u\Vert_{W^{1,p}}^{q-1}\Vert v\Vert_{W^{1,p}}^{q}.$
Donc on obtient que $\vert F(u+v)-F(v)-\int_{\Omega}f(x)\vert u\vert^{q-2}uv\ d{x}\vert\leq c(\Vert u\Vert_{W^{1,p}}^{q-1}+\Vert u\Vert_{W^{1,p}}^{q}+1)\Vert v\Vert_{W^{1,p}}^{q}$ :)o