Famille sommable

Il faut varier J sur tous les sous ensembles finis de I

dans ton exemple I est fini et donc fait parti des J

on prend la borne supérieure des $\sum_{i\in J} a_i $ en variant $J$ fini et$ \subset I$
et puisque ton $I$ est fini , la borne supérieure est atteinte pour $J=I$ car la famille est à termes positifs

je pense qu'il faut revoir la définition de Sup d'un ensemble .

un exemple : prends $I=\R^2$ et $a_i=0$ sauf $a_{n,n}= 1/2^n$ pour n entier

calculer$ \sum _{i\in I}ai$ d'après ta définition

le résultat est juste mais des remarques s'imposent :
1) $ \sum _{i\in I} a_i = sup \{ \sum _{(n,m)\in J} a_{n,m} \} $ l'indexation n'est pas correcte car tu sous entends $(n,m) $ est toujours un couple d'entiers
normalement on doit écrire $ \sum _{i\in I}a_i = sup _{J fini \subset I}\{ \sum _{(x,y)\in J} a_{x,y} \}$

2)cette égalité est juste , mais il faut la prouver
$ sup \left\{ \sum _{(n,m)\in J} a_{n,m} ; J \subset \mathbb{R}^{2} ; J fini \right\} = sup\left\{ a_{1,1} + a_{2,2} + ... + a_{n,n} \right\}$ sup sur ?

le 2): après correction, on doit montrer que $ sup _{J fini \subset I}\{ \sum _{(x,y)\in J} a_{x,y} \}=sup_{n\in \N^*}\left\{ a_{1,1} + a_{2,2} + ... + a_{n,n} \right\}$

indication : pour tout $J$ fini $\subset \R^2 $ il existe un entier $n $ tel que $J\subset [-n,n]^2$

Le fait est que tu n'expliques pas quel $n$ te permet d'affirmer $$\sum _{(x,y)\in J} a_{x,y} = a_{1,1} + \dots + a_{n,n}.$$

Ça n'a pas de sens. Si $J$ est fixé tu ne peux pas me dire que $\sum _{(x,y)\in J} a_{x,y} = a_{1,1} + \dots + a_{n,n}$ pour tout $n \in \mathbb N^*$ !

Tu devrais être plus soigneux, écris clairement ce dont tu parles !

Bonjour

Le sup est le plus petit des majorants.

Voici une bribe de raisonnements qui peut t'aider je crois :

On considère deux parties (non vides pour simplifier) de $\mathbb R$, disons $A$ et $B$.
On suppose que pour tout $a\in A$, il existe $b\in B$ tel que $a\leqslant b$.
On peut alors écrire que $a\leqslant \sup(B)$,
d'où l'on déduit $\sup(A)\leqslant \sup(B)$.