$g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?

hicham 
hicham 
dans Analyse
Bonjour à tous,

Si $f$ et $g$ sont continues de $\R^n$ dans $\R^n$, avec $g\circ f=I$, a-t-on $f\circ g=I$ ? C'est banal pour $n=1$, mais sinon ?

Si c'est un résultat de topologie algébrique, alors je ne m'en voudrai pas d'avoir séché !

Merci, et cdlt, Hicham

Réponses

  • Phare
    Phare
    bonjour,

    tu as une preuve pour le cas n=1 ?
  • Dom
    Dom
    Ou alors $I$ signifie l'identité de $R^n$ ?

    Et on attend toujours une preuve :-) (ou de regarder $\exp$ et $\ln$).

    Bon, en clair il faut être plus rigoureux dans l'énoncé.
  • Phare
    Phare
    @Dom
    Malheureusement pour nous et heureusement pour hicham
    exp et ln ne sont pas des contre exemples
    le logarithme n'a pas R pour domaine de définition.
  • Dom
    Dom
    C'est exact. J'ai laissé finalement...

    En pensant que ça peut faire avancer le schmilblick.
  • petit-o
    petit-o
    Bonsoir,

    Pour $n=1$, peut-être voir du côté du TVI, du théorème de la "bijection", ou s'interroger sur les applications injectives continues ?
  • hicham 
    hicham 
    Si $g\circ f=Id$, alors $f$ est injective (et continue) donc par exemple strictement croissante. Elle tend donc vers $+\infty$ en $+\infty$ car, si elle tend vers $L$ finie, alors $g(y)$ tend vers $+\infty$ quand $y\to L$. De même $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et elle est donc surjective. Ainsi, son inverse à gauche l'est aussi à droite.

    Bonne soirée, cdlt, Hicham
  • Phare
    Phare
    OK pour le cas général n=1,
    reste plus que traiter le cas spécial n supérieur a 1
  • hicham 
    hicham 
    reste plus que traiter le cas spécial n supérieur a 1


    Ouaip, t'as raison, mon gars, les cas particuliers n'ont pas d'intérêt (td)
  • hicham 
    hicham 
    Plus personne ?

    Pourtant, si $f$ et $g$ sont même $C^1$, $dg\circ df=I$ en tout point et donc $df$ est inversible en tout point. Donc $f$ est un difféo local en tout point et alors aussi ouverte. Est-ce qu'on ne peut pas en déduire qu'elle est surjective en montrant que $f(\R^n)$ a une frontière vide ? Après ça, passer de $C^1$ à $C^0$ doit être faisable, non ?
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