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$g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?

Envoyé par hicham  
$g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
Bonjour à tous,

Si $f$ et $g$ sont continues de $\R^n$ dans $\R^n$, avec $g\circ f=I$, a-t-on $f\circ g=I$ ? C'est banal pour $n=1$, mais sinon ?

Si c'est un résultat de topologie algébrique, alors je ne m'en voudrai pas d'avoir séché !

Merci, et cdlt, Hicham
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
avatar
bonjour,

tu as une preuve pour le cas n=1 ?
Dom
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
Ou alors $I$ signifie l'identité de $R^n$ ?

Et on attend toujours une preuve smiling smiley (ou de regarder $\exp$ et $\ln$).

Bon, en clair il faut être plus rigoureux dans l'énoncé.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Dom.
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
avatar
@Dom
Malheureusement pour nous et heureusement pour hicham
exp et ln ne sont pas des contre exemples
le logarithme n'a pas R pour domaine de définition.
Dom
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
C'est exact. J'ai laissé finalement...

En pensant que ça peut faire avancer le schmilblick.
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
Bonsoir,

Pour $n=1$, peut-être voir du côté du TVI, du théorème de la "bijection", ou s'interroger sur les applications injectives continues ?
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
Si $g\circ f=Id$, alors $f$ est injective (et continue) donc par exemple strictement croissante. Elle tend donc vers $+\infty$ en $+\infty$ car, si elle tend vers $L$ finie, alors $g(y)$ tend vers $+\infty$ quand $y\to L$. De même $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et elle est donc surjective. Ainsi, son inverse à gauche l'est aussi à droite.

Bonne soirée, cdlt, Hicham
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
avatar
OK pour le cas général n=1,
reste plus que traiter le cas spécial n supérieur a 1
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
reste plus que traiter le cas spécial n supérieur a 1


Ouaip, t'as raison, mon gars, les cas particuliers n'ont pas d'intérêt thumbs up
Re: $g\circ f=I$ implique $f\circ g=I$ ?
il y a six mois
Plus personne ?

Pourtant, si $f$ et $g$ sont même $C^1$, $dg\circ df=I$ en tout point et donc $df$ est inversible en tout point. Donc $f$ est un difféo local en tout point et alors aussi ouverte. Est-ce qu'on ne peut pas en déduire qu'elle est surjective en montrant que $f(\R^n)$ a une frontière vide ? Après ça, passer de $C^1$ à $C^0$ doit être faisable, non ?
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