Bonjour à tous,
Si $f$ et $g$ sont continues de $\R^n$ dans $\R^n$, avec $g\circ f=I$, a-t-on $f\circ g=I$ ? C'est banal pour $n=1$, mais sinon ?
Si c'est un résultat de topologie algébrique, alors je ne m'en voudrai pas d'avoir séché !
Merci, et cdlt, Hicham
Réponses
tu as une preuve pour le cas n=1 ?
Et on attend toujours une preuve :-) (ou de regarder $\exp$ et $\ln$).
Bon, en clair il faut être plus rigoureux dans l'énoncé.
Malheureusement pour nous et heureusement pour hicham
exp et ln ne sont pas des contre exemples
le logarithme n'a pas R pour domaine de définition.
En pensant que ça peut faire avancer le schmilblick.
Pour $n=1$, peut-être voir du côté du TVI, du théorème de la "bijection", ou s'interroger sur les applications injectives continues ?
Bonne soirée, cdlt, Hicham
reste plus que traiter le cas spécial n supérieur a 1
Ouaip, t'as raison, mon gars, les cas particuliers n'ont pas d'intérêt (td)
Pourtant, si $f$ et $g$ sont même $C^1$, $dg\circ df=I$ en tout point et donc $df$ est inversible en tout point. Donc $f$ est un difféo local en tout point et alors aussi ouverte. Est-ce qu'on ne peut pas en déduire qu'elle est surjective en montrant que $f(\R^n)$ a une frontière vide ? Après ça, passer de $C^1$ à $C^0$ doit être faisable, non ?