Condition suffisante existence max global
Réponses
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Pour l’existence de a strictement positif tq f(a) le soit aussi voilà comment je démarre :
f non nulle donc il existe a positif tq f(a) non nul or f(a) a valeurs dans R+ donc tel que f(a) strictement positif (je ne vois pas comment aboutir à a strictement positif)
Pour la deuxième partie de la question j’applique la définition de la limite avec epsilon = f(a) qui convient car f(a) construit de manière à ce qu’il soit strictement positif
Et pour la question 2, on a f qui admet un maximum et sur (0;A) car elle y est continue et sur (A;+ l’infini) donc le maximum est le max des 2
Ceci n’est pas totalement rigoureux
Pourriez vous m’aider pour l’existence du a strictement positif ?
Merci de votre aide -
On peut faire un raisonnement par l'absurde.
Supposons que le seul $a$ tel que $f(a) > 0$ soit $a=0$. (en effet, le contraire de ça, c'est : il existe bel et bien un $a>0$ tel que $f(a) > 0$). Autrement dit : pour tout $a>0$, on a $f(a)=0$. $f$ peut-elle être continue dans ce cas ? -
si f était continue alors d'après le TVI on aurait l'existence d'un alpha dans (0;a) tel que f(alpha) appartient à (f(a);f(0))...? Je n'arrive pas à conclure
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Non, regarde : ce que j'ai supposé c'est que $f(0) > 0$ et $f(x) = 0$ pour tout $x>0$. Cette fonction possède clairement une discontinuité.
Donc une fonction continue ne peut pas vérifier ces conditions. Donc soit $f(0)=0$ et $f$ est identiquement nulle (cas exclu par l'énoncé), soit il existe $x > 0$ tel que $f(x) > 0$ (c'est ça qu'on veut montrer) -
Oui elle en possède "clairement" mais comment le démontrer ?
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Calcule la limite à droite en $0$. Tu vas trouver que la limite de $f$ à droite en $0$ est $0$, donc cette limite est différente de $f(0)$ qui est ici supposé strictement positif.
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Merci de ton aide !
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Bonjour,
@jp59 : "Et pour la question 2, on a f qui admet un maximum et sur (0;A) car elle y est continue et sur (A;+ l’infini) donc le maximum est le max des 2 ,Ceci n’est pas totalement rigoureux "
Oui exactement ce n'est pas rigoureux , c'est même totalement faux : sur $[A, +\infty[$ , on ne peut pas affirmer que $f$ admet un maximum
car elle est majorée (pense à une courbe qui admet une asymptote horizontale )
Je te propose de travailler sur trois intervalles :$ [0,a]$ , $[a,A]$ et $[A, +\infty[$ : sur les deux premiers $f $admet un maximum et pour conclure
il suffit que que l'un des deux majore $f$ sur $[A, +\infty[$, sûrement pas le maximum sur $[a,A]$ car on sait rien sur $A$
Donc il faut revenir à la construction de ton $a$ pour que ça marche! -
Ah bon totalement faux ? Une fois qu’on a montré, en utilisant le fait que f tend vers 0 en + l’infini avec epsilon =f(a) , qu’il existe A tel que pour tout x supérieur ou égal à A f(x) inférieur ou égal à f(a) on n'a pas l’existence d’un max global sur (A; + l’infini) ? Je croyais que c’était la définition d’un max global
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non car $a $ n'appartient pas à $[A,+\infty[$
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Ce qu'on a montré, c'est que $f$ est majorée par $f(a)$ sur $[A, \infty[$.
On n'a pas l'argument "bornée et atteint ses bornes" sur $[A, \infty[$ car ce n'est pas un intervalle fermé. Pour montrer que $f$ atteint effectivement une valeur maximale sur $[A, \infty[$, il va falloir trouver un autre argument.
On peut essayer avec des arguments simples pour commencer.
1) si $f$ est décroissante sur $[A, \infty[$, on a un maximum atteint : c'est $f(A)$.
2) si $f$ n'est pas décroissante sur tout $[A, \infty[$, que va-t-il se passer ? Comme elle est positive, majorée et de limite nulle à l'infini, il faudra bien qu'elle finisse par redescendre à un moment (auquel cas elle atteindra un pic avant de redécroître), donc on finira bien par trouver un intervalle $[A', \infty[$ avec $A' > A$ sur lequel $f$ sera décroissante et on pourra appliquer le point 1) sur $[A', \infty[$. Remarque : $f$ ne peut changer de sens de variations qu'un nombre fini de fois (sinon la limite nulle entre en défaut...)
Essaie de voir si tu t'en sors avec ça, sinon, on verra. -
Attention, Homo Topi,
une fonction positive qui tend vers 0 en $+\infty$ n'a aucune raison d'être ultimement décroissante ("on finira bien par trouver un intervalle ... sur lequel f sera décroissante"); prends par exemple la fonction $f : x\mapsto \frac{\sin^2(x)}x$ dont la dérivée $f'(x)= \frac{2\sin(x)\cos(x)}x-\frac{\sin^2(x)}{x^2}$ est manifestement positive au voisinage des valeurs $x={\frac{\pi}4+k\pi}$ lorsque k est un entier.
Cordialement. -
C'est vrai
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Autre remarque : Pour l'exercice du départ, on se moque de savoir si "$f$ atteint effectivement une valeur maximale sur $[A,+\infty[$ (*)". Comme on cherche un maximum sur $\mathbb R^+$, la seule chose utile c'est qu'il n'est pas là :-)
Cordialement.
(*) $+\infty$ dans la notation des intervalles infinis à droite, pas $\infty$ qui ne signifie rien ici. -
@ jp59 : indication : $\quad f(a)\leq \max\limits_{x\in [0,a]}f(x)$
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Bonjour
en fait je n'arrive même pas à montrer l'existence de A strictement supérieur à a de la première question.
En effet d'après la définition de la limite on sait qu'au-delà d'un certain point (pour ne pas dire à partir d'un certain rang car on est dans R mais je ne sais pas si ça se dit), f(x) inférieur ou égal à f(a) mais comment peut-on être sur que ce point en question est strictement supérieur au a ?? -
S'il ne l'est pas, on prend plus grand ...
Si f(x) est inférieur ou égal à f(2) pour x supérieur à 1, il l'est à fortiori pour x supérieur à 3. N'est-ce pas une évidence ?
Cordialement. -
Oui effectivement..merci
Pour conclure quant à l'existence d'un max global sur R+ je suis l'indication de Saïd Fubini :
en posant M=max (max f sur (0;a), max f sur (a;A)) on a M maximum de f sur R+ ?
en effet f(a) plus petit que max f sur (0;a) -
Quelqu’un connait-il la réponse ?
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Oui. Plein de gens t'ont répondu, et il te suffit de mettre en ordre toutes les idées. Donc pas te contenter de mettre une petite phrase de temps en temps. Si tu rédiges une preuve, tu peux vérifier que c'en est une (chaque étape se déduit de l'énoncé ou d'une étape précédente par application d'une règle, et à la fin on a la conclusion attendue), tu n'as plus besoin de nous pour savoir.
Cordialement.
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