Dérivée de primitive

Piteux-Gore,

je ne savais pas ce qu'est une "primitive généralisée", mais si c'est la notion dont parle Wikipédia, je suis surpris que tu aies besoin de nous pour savoir. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans l'application de la définition ?
En tout cas, tu ne peux écrire sans précaution F'=E, ni F'(x)=E(x).

Noter aussi qu'il y a d'autres fonctions que $x\mapsto xE(x) - E(x)E(x)/2 - E(x)/2 + Cte$ dont la dérivée sur $\mathbb R - \mathbb N$ est la fonction partie entière E, par exemple $x\mapsto xE(x) - E(x)E(x)/2 - E(x)/2 + sgn(x)$ ou $x\mapsto xE(x) - E(x)E(x)/2 - E(x)/2 + H(x)$ où sgn est la fonction "signe" et H la fonction de Heaviside.

Cordialement.

Sans plus de précisions c'est faux. Une fonction continue $f$ sur un intervalle ouvert $I$ admet une (en fait une infinité de) primitive(s), c'est-à-dire une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I, F'(x) = f(x)$. Si maintenant $f$ est seulement continue par morceaux sur $I$, elle admet au moins une primitive sur chaque subdivision $I_j$ de $I$ sur lesquelles elle est continue. On peut en déduire une (comme d'habitude en fait une infinité de) fonction(s) $F$ définie sur $I$, dérivable sur chaque sous-intervalle ouvert $I_j$, et vérifiant $\forall j, \forall x \in I_j, F'(x)=f(x)$. Impossible en général de recoller tous ces morceaux de manière cohérente pour que $F$ soit dérivable sur $I$ tout entier.

Non, une primitive sur $[0, 1[$ de $x \mapsto 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)$ prolongée par $0$ en $0$ est $F : x \mapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ prolongée par $0$ en $0$. Alors $F$ est bien dérivable en $0$ mais $f$ n'y est pas continue.

En somme, une dérivée n'a pas de raison d'être continue (même si d'après Baire, elle l'est toujours sur une partie dense...).