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Injective et continue implique monotone

Envoyé par Chaurien 
Injective et continue implique monotone
il y a six mois
Bonsoir.
Je voudrais intervenir sur les démonstrations disponibles de ce théorème, les plus élémentaires possible.

Si $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$ est strictement monotone.

Démonstration 1, passant par $\mathbb R^2$.
Lemme. Si $K$ est un convexe de $\mathbb R^2$ et $\phi$ une application continue de $K$ dans $\mathbb R$, alors l'ensemble-image $\phi(K)$ est un intervalle de $\mathbb R$.
....................................................................................
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et soit une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$.
L'ensemble $K=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid x\in I,y\in I,x<y\}$ est un convexe de $\mathbb R^2$, et l'application de $K$ dans $\mathbb R$ définie par $\phi : (x,y) \mapsto f(x)-f(y)$ est une application continue de $K$ dans $\mathbb R$. Son ensemble-image est donc un intervalle de $ \mathbb R$, et à cause de l'l'injectivité, cet intervalle ne contient pas $0$. Etc.
Démonstration 2, restant dans $\mathbb R$.
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et soit une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$. Pour $x \in I, y\in I, x \neq y$, on pose : $T(x,y)=$${f(x)-f(y)} \over {x-y}$, et l'on montre avec plusieurs cas que ce réel conserve un signe constant. Démonstration laborieuse que je ne détaille pas.
J'ai retrouvé dans mes archives une démonstration qui évite les inconvénients des deux précédentes et que je présenterai dans mon prochain message.
Fr. Ch.
05/09/2018



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: injective et continue implique monotone
il y a six mois
Suite du message précédent.
Démonstration 3, restant dans $\mathbb R$ mais plus courte.
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, et soit une application $f$ injective et continue de $I$ dans $\mathbb R$.
Si $f$ n'était pas strictement monotone sur $I$, il existerait $a\in I$, $b\in I$, $c\in I$, $d\in I$, tels que : $a<b$, $f(a)>f(b)$, $c<d$, $f(c)<f(d)$.
La fonction : $t\mapsto g(t)=f((1-t)b+td)-f((1-t)a+tc)$ est définie et continue sur $[0,1]$.
On a : $g(0)=f(b)-f(a)<0$ et $g(1)=f(d)-f(c)>0$.
De par le T.V.I., il existe $t_{0}\in ]0,1[$ tel que : $g(t_{0})=0$.
Soit $\alpha =(1-t_{0})b+t_{0}d$ et $\beta =(1-t_{0})a+t_{0}c$, qui sont deux réels éléments de l'intervalle $I$.
Alors : $\alpha -\beta =(1-t_{0})(b-a)+t_{0}(d-c)>0$.
Mais par ailleurs : $f(\alpha )-f(\beta )=f((1-t_{0})b+t_{0}d)-f((1-t_{0})a+t_{0}c)=g(t_{0})=0$,
ce qui contredit l'injectivité de $f$. Contradiction.
Comme j'ai dit j'ai retrouvé ceci dans mes archives, mais après consultation, impossible de savoir d'où ça vient. Qu'en pensez-vous ?
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Re: injective et continue implique monotone
il y a six mois
Personnellement, j'aime beaucoup les démonstrations très élémentaires. Parfois, il faut sortir la grosse artillerie, mais quand on n'en a pas besoin, c'est mieux de ne pas s'en servir. ça apprend à trouver des astuces !

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
Re: injective et continue implique monotone
il y a six mois
On peut montrer que $f$ n'est pas monotone sur un intervalle si et seulement s'il existe $a<b<c$ tels que [$f(b)>f(a)$ et $f(b)>f(c)$] ou [$f(b)<f(a)$ et $f(b)<f(c)$].
C'est vaguement déplaisant mais pas profond et ça ne joue que sur l'ordre.

Partant de cette caractérisation, l'usage du théorème des valeurs intermédiaires est immédiat (si par exemple $f(b)>f(a)$ et $f(b)>f(c)$, disons que $f(a)\le f(c)$ pour fixer les idées, alors $f(c)$ admet un autre antécédent que $c$ dans $[a,b]$).
Re: Injective et continue implique monotone
il y a six mois
" et ça ne joue que sur l'ordre"

oui, mais ça c'est pédagogique aussi ; on comprend mieux pourquoi le thm de Rolle est faux dans $\C$ ou pourquoi, dans un EVN, un difféo local n'est que localement injectif en général.

Cordialement à tous, Hicham
Re: Injective et continue implique monotone
il y a six mois
Comme quoi, c'est toujours utile d'avoir plusieurs démonstrations différentes du même résultat grinning smiley

“Les mathématiques ne connaissent ni races, ni frontières géographiques. Pour les mathématiques, le monde de la culture est un seul et même pays.” - David Hilbert
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