Une équation différentielle

Bonjour,

$x(t) = t e^t$, $y(t) = {t^2 \over 2} +y(0).$

Prendre n'importe quel $y$ et définir $x(t)=y'(t)\exp(y'(t))$.

La méthode est bonne, le résultat ne l'est pas .
On pose dy/dx = t => dx = dy/t
Par ailleurs x = t.exp(t) => dx = (t+1) exp(t) dt
D'où dy/t = (t+1) exp(t) dt => y = (t²-t+1) exp(t) + Cte et on vérifie qu'on a bien dy/dx = t et x = dy/dx.exp(dy/dx)

J'ai essayé de bricoler un peu ce matin la 2e . Le truc qui me plante toujours est le facteur 1/2 et le fait qu'elle ne soit pas homogène en y",y' et y .
J'arrive à des formes du type u' + k.u² = f(y) qui se simplifient mal . En fait elles ne se simplifient pas du tout mais ça donne le sentiment qu'elle devrait être faisable si on peut se débarrasser du 1/2 .

Bonjour,

Soit l'équation différentielle $\displaystyle y y'' - {1 \over 2} y'^2 = {1 \over y^2}.$

La bonne façon de progresser est le changement de variables : $\displaystyle w(y)=y'^2.$ On transforme l'équation du second degré non linéaire en une équation du premier degré linéaire : $\displaystyle w' - {1 \over y} w - 2 {1\over y^3}=0$ que l'on sait résoudre par exemple par la méthode de la variation de la constante $\displaystyle w(y) = a y - {2 \over 3} {1 \over y^2}$ où $a$ est une constante d'intégration. On tombe donc sur l'équation différentielle $\displaystyle y'^2= a y - {2 \over 3} {1 \over y^2}$ qui est autonome et se résout par la méthode des variables séparables. On écrit donc la solution explicite à l'aide des fonctions elliptiques de première et deuxième espèce. C'est pénible donc à faire en exercice pour ceux qui veulent.

Je note $u_k = \frac{(3k+1)!}{3^kk!}$. Alors pour tout $k \geq 0$, on a $$\frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{(3k+4)!3^kk!}{(3k+1)!3^{k+1}(k+1)!} = \frac{(3k+4)(3k+3)(3k+2)}{3(k+1)}$$ qui tend vers l'infini. Le rayon de convergence est donc nul !

@totem
3k+2 vont être tous nuls puisque si a(n) = 0 alors a(n+3) =0 (formule de récurrence) . Or a2=0 . Par ailleurs tu as dû rater le - dans la formule de récurrence qui donnera des (-1)^k . Entre autres .

@Poirot
Non . La solution est somme de 2 séries . Une avec k = 0 mod 3 et l'autre avec k = 1 mod 3 . Celle 2 mod 3 est nulle (voir dessus) et c'est d'ailleurs pour ça que a(k+1)/a(k) n'est pas défini pour tout k .
Il en faut de toute façon 2 puisque pour avoir a0 il faut donner f(0) et pour avoir a1 il faut donner f '(0) - les 2 conditions initiales pour l'équation de 2e ordre .
Donc pour le rayon de convergence on prend a(n+1)/a(n) séparément dans les 2 séries (p.ex a(3(k+1)) / a(3k) pour la 1e) et il se trouve qu' il est infini .
Je suppose que tu as juste repris l'expression de totem mais comme elle est fausse ….