Espaces vectoriels
Bonsoir, j'ai cet exercice, pouvez-vous s'il vous plaît m'expliquer comment faire.
Soit $I$ un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, et $p: I\to \mathbb{R}$ une application continue et est strictement croissante sur l’intérieur de $I$.
Soit $H_p$ l'ensemble des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb {R}$ qui verifient $$\int_I |f(t)|^2 p(t) dt <+\infty$$ Montrer que $H_p$ est un espace vectoriel.
Est-ce qu'on utilise la définition standard des deux opérations + et × ?
Merci.
Soit $I$ un intervalle fermé de $\mathbb{R}$, et $p: I\to \mathbb{R}$ une application continue et est strictement croissante sur l’intérieur de $I$.
Soit $H_p$ l'ensemble des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb {R}$ qui verifient $$\int_I |f(t)|^2 p(t) dt <+\infty$$ Montrer que $H_p$ est un espace vectoriel.
Est-ce qu'on utilise la définition standard des deux opérations + et × ?
Merci.
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Réponses
Il s'agit de montrer que $H_p$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal C^0(I, \mathbb R)$ muni des lois usuelles. Normalement tu connais depuis ta première année comment procéder !
$$ S'il vous plaît dans quel étape on a besoin de la positivité de p ?
Merci.
$x\mapsto -e^{-x}$ est croissante sur $\mathbb R$ ... et négative. Son intégrale est "$<+\infty$" puisqu'elle vaut $-\infty$.
Cordialement.
NB : D'où sort cet énoncé ?
Je ne vois pas où utiliser la croissance de $p$ ?
Sans positivité de $p$, cet énoncé est complètement absurde ... Déjà la première question n'a pas de sens comme nous l'avons déjà remarqué, mais même en se plaçant dans un cadre où les choses ont un sens la deuxième question est fausse.
PS : plus généralement dès que $p$ est à valeurs strictement négatives, on aura rapidement $u(f,f)<0$ pour beaucoup de fonctions continues $f$ ...
Il vaut mieux ne pas perdre du temps avec des énoncés incohérents. passe à autre chose.
Cordialement.