Somme de série
dans Analyse
Bonjour à tous,
Je cherche à calculer (si cela est possible) la somme de la série $$ \sum_n n^\alpha z^n$$ où $\alpha$ est réel et $z$ un complexe de module inférieur à $1$. Si $\alpha$ est entier, c'est facile à exprimer avec les dérivées successives de la somme géométrique. Mais sinon…
Pour être plus précis, je cherche même à le majorer par $\dfrac{|1-z|}{1-|z|} $.
Merci !
Je cherche à calculer (si cela est possible) la somme de la série $$ \sum_n n^\alpha z^n$$ où $\alpha$ est réel et $z$ un complexe de module inférieur à $1$. Si $\alpha$ est entier, c'est facile à exprimer avec les dérivées successives de la somme géométrique. Mais sinon…
Pour être plus précis, je cherche même à le majorer par $\dfrac{|1-z|}{1-|z|} $.
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Réponses
Par ailleurs je serais curieux de voir la formule pour exposant entier (je doute un peu de son existence, je pense qu'on peut seulement trouver une formule de récurrence).
Bien cordialement.
Mais déjà le calcul explicite de n².z^n montre qu'entre pouvoir s'exprimer et s'exprimer il y a un monde .
l’inégalité recherchée est fausse pour $\alpha =0$ et $z=\dfrac{1}{2}$.
(D'ailleurs même si je suis mal placé pour faire ce genre de commentaires vu mon ortografe mais ce serait pas plutôt ''je cherche même à la majorer par...'')
Pour être plus précis, on se limite à $\alpha>0$ et quand je parle de majorer, c'est plutôt par $C \dfrac{|1-z|}{1 - |z|} $ où $C$ est une constante qui ne dépend pas de $z$ sur le disque unité, ou éventuellement une puissance de $\dfrac{|1-z|}{1 - |z|} $.
J'ai essayé en prenant l'entier immédiatement supérieur à $\alpha$ mais ce n'est pas concluant...
Soit $l\in \mathbb{N}^{*}.$ On a alors pour tout $z\in\mathbb{D},$ tel que $\vert z \vert \sim 1-\frac{1}{2^{l}},$
\begin{align*}
\vert f_{\alpha}(z) \vert & := \vert \sum\limits_{k\geq 0}k^{\alpha}z^{k} \vert\\
& \leq \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\sum\limits_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}k^{\alpha}\vert z \vert ^{k}\\
& \lesssim \sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^{\alpha n}\sum\limits_{k=2^{n}}^{2^{n+1}-1}\vert z \vert ^{k}\\
& \lesssim \frac{1}{1-\vert z\vert }\times \sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^{\alpha n}\vert z \vert^{2^{n}}\\
& \lesssim \frac{1}{1-\vert z\vert }\times \sum\limits_{n\leq l}2^{\alpha n}\vert z \vert^{2^{n}}+ \frac{1}{1-\vert z\vert }\times \sum\limits_{n\geq l}2^{\alpha n}\vert z \vert^{2^{n}} \\
& \lesssim \frac{1}{1-\vert z\vert }\times \sum\limits_{n\leq l}2^{\alpha n}+\frac{2^{\alpha l}}{1-\vert z \vert}\int_{0}^{+\infty}2^{\alpha t}e^{-2^{t}}dt\\
& \lesssim \frac{1}{(1-\vert z\vert)^{\alpha+1}}
\end{align*}
où pour l'avant dernière ligne, on a utilisé l'inégalité de convexité $\displaystyle e^{2^{n}\ln(\vert z \vert)}\lesssim e^{-2^{n-l}}$ puis une comparaison intégrale pour conclure et pour la dernière ligne, on a utilisé le fait que $1-\vert z\vert$ est bien localisé.
On peut aussi interpoler.... Les majorations sont "faciles" à obtenir pour $\alpha$ entier puis on utilise l'inégalité d'Hölder pour conclure.
Je crois avoir fini par conclure par une comparaison série intégrale sur $t \mapsto t^{\alpha}x^t$ à $x$ fixé. Cela semble bien fonctionner.