Intégrale logarithme exponentielle complexe

Dd Kg
Dd Kg
dans Analyse
Bonjour,
il est question de justifier l'existence de cette intégrale $$\int_{-\pi}^{\pi}\ln(|1-e^{it}|)\text{d}t$$ puis de voir qu'elle est nulle.

Un des problèmes (le seul?) est au niveau des bornes, où la fonction $t\mapsto \text{ln}(|1-e^{it}|)$ n'est tout bêtement pas définie, ce qui amène à la rubrique ''intégrale généralisée".
C'est une intégrale de Lebesgue, n'est-ce pas ? Peut-on parler d'intégrale de Lebesgue généralisée (dans le sens où on fait tendre l'espace (mesuré) d'intégration vers $[-\pi,\pi]$) ? Il me semble que non.

Donc on adopte plutôt un cadre "riemannien" (je me trompe ?), on intègre la fonction continue $t\mapsto \text{ln}(|1-e^{it}|)$ sur $[-\pi+\varepsilon,\pi-\varepsilon]$ ($\varepsilon$ assez petit) et on passe à la limite lorsque $\varepsilon$ tend vers 0, en espérant obtenir 0.

J'ai besoin d'avoir des idées plus claires concernant la méthode ici. Pouvez-vous m'aider ?

Léo

Réponses

  • noix de totos
    noix de totos
    Si l'énoncé est correct, c'est plutôt en $0$ qu'il y a problème.
  • aléa
    aléa
    Tu peux choisir de considérer cette intégrale comme une intégrale de Lebesgue ou comme une intégrale de Cauchy (Riemann) généralisée.
    Dans le premier cas, tu dois résoudre une question d'intégrabilité, dans le second cas c'est un problème d'intégrale généralisée.
    La réponse aux deux questions est la même vu que la fonction est de signe constant au voisinage de l'unique point problématique.
  • Dd Kg
    Dd Kg
    Oui, en 0, pardon ! (ln(2) c'est bien ok)

    Je ne saisis pas trop votre dernière remarque aléa.
    Soit ! donc au niveau de la rédaction, je considère $\varepsilon \in ]0,\pi[$ (moralement petit) et je peux parfaitement considérer les deux intégrales ; $$I_\varepsilon=\int_{-\pi}^{-\varepsilon} \text{ln}(|1-e^{it}|)\text{d}t~~~~~\text{et}~~~~~J_\varepsilon=\int_{\varepsilon} ^\pi\text{ln}(|1-e^{it}|)\text{d}t$$ la fonction (disons $f$) étant (uniformément) continue sur les intervalles considérés.
    Doit-on maintenant chercher des primitives en vu d'appliquer le théorème fondamental du calcul intégral ? Il me semble que non. Que faire alors?
  • Cyrano
    Cyrano
    Tu peux un peu développer ton intégrant : $$\ln|1-e^{it}| = \ln((1-\cos(t))^2+\sin^2(t)) = \ln(2-2\cos(t)) =\ln (4\sin^2(t/2))=2\ln(2\sin(t/2)),$$ où concernant la dernière égalité, on ramène au préalable l'intégrale sur $[0,\pi]$ par parité.

    Ainsi, modulo changement de variables, tout revient à se demander si $x \mapsto \ln(\sin(x))$ est Lebesgue-intégrable en $0^+.$
  • Dd Kg
    Dd Kg
    D'accord, merci beaucoup. Oui, c'est ce dont j'étais en train de m'apercevoir.

    Et ça ne pose pas de problèmes de se ramener à $[0,\pi]$ étant donné qu'on n'a pas encore montré l'existence de l'intégrale (sauf sur des intervalles ne contenant pas $0$) ?
  • Dd Kg
    Dd Kg
    Pour les personnes qui souhaitent calculer cette intégrale (et démontrer ainsi sa nullité), sachez que cela va résulter d'une question préalable que je n'ai pas renseigné, je vous invite à consulter le sujet analyse probabilités 2009 d'agreg externe (partie I question 1c) pour plus de renseignements.

    En fait, ce qui m'importe ici, c'est juste l'existence de cette intégrale, et cela est indépendant du reste du problème.
    Il y a une petite erreur dans le calcul de Cyrano, pas bien méchante, juste un petit facteur 1/2 omis. On trouve pour intégrande : $$\text{ln}\left(2\text{sin}\left(\frac{t}{2}\right)\right)$$ C'est une fonction qui n'est pas définie en 0, d'où l'idée classique de couper en deux intégrales (mais je ne conclus pas)

    Comment, à partir de là, justifier l'existence de l'intégrale ? Faut-il sinon envisager une autre méthode?
  • aléa
    aléa
    A priori, l'intégration Lebesgue, c'est l'intégrabilité de la valeur absolue, alors que la convergence de l'intégrale impropre, c'est la vérification d'un certain critère de Cauchy, ce qui est, a priori, plus faible.
  • Dd Kg
    Dd Kg
    d'accord merci
  • Cyrano
    Cyrano
    Tu peux par exemple calculer $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} \ln(\sin(x)).$ Si cette limite existe et est finie, la fonction est Lebesgue-intégrable en $0.$
  • Dd Kg
    Dd Kg
    J'ai alors trois questions :

    - Je suis toujours sur $[-\pi,\pi]$ , la fonction $\text{ln}(2\sin(t/2))$ n'étant pas paire. Donc je ne saisis pas l'argument de parité ci-dessus.
    - Quel est le lien avec $\sqrt x \text{ln}(\text{sin}(x))$ ?
    - et sinon l'existence de l'intégrale n'est-elle pas ici sa convergence, en fait ?
  • Dd Kg
    Dd Kg
    Je pense commencer à saisir la chose. Pour $t\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$, on peut écrire $$\text{ln}|1-e^{it}|=\frac{1}{2}\text{ln}(2-2\cos(t))=\frac{1}{2}\text{ln}((2\sin(t/2))^2)$$
    Mais on ne peut pas conclure que cela vaut $\text{ln}(2\sin(t/2))$, qui n'est même pas toujours défini d'ailleurs.

    (...en fait, on met des valeurs absolues!)
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