Homéomorphismes dans $\mathbb{R}^n$

Je ne pense pas.

$\mathbb{R}^n \setminus \mathbb{N}^n$ est ouvert, mais $\mathbb{R}^n \setminus \mathbb{Q}^n$ n'est pas ouvert.

En particulier, $\mathbb{R}^n \setminus \mathbb{N}^n$ contient des boules ouvertes, là où $\mathbb{R}^n \setminus \mathbb{Q}^n$ n'en contient pas.

Bonjour,
$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ n'est pas homéomorphe à $\mathbb{R} \backslash \mathbb{N}$

En effet si f était un tel homéomorphisme, f mettrait en bijection les composantes connexes de $\mathbb{R} \backslash \mathbb{N}$ (qui sont les intervalles de bords entiers consécutifs, qui sont dénombrables) et les composantes connexes de $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ (qui sont tous les singletons et sont donc indénombrables ).

J’espère qu'on aura une réponse plus générale à la question par un intervenant plus savant i.e trouver des conditions sur A et B....(tu)

Cordialement

UP,

Si A et B sont discrets (infinis ou finis de même cardinal), le résultat est il correct ?
avez-vous une idée de démonstration pour le cas fini?
(:D

Cordialement

@mojojojo
Je me dis la même chose...
Mais je voudrais bien voir une construction <<explicite>> (comprendre convaincante) d'un tel homéomorphisme.(bon c'est assez clair, j'avoue...)
Passons, que penses-tu du cas infini?

Cordialement

J'ai édité mon message précédent pour préciser ma pensée.

Pour le cas infini je pense que c'est compliqué :-D dans le cas discret je pense que les ensembles sont homéomorphe. A mon avis il serait pratique de démontrer le lemme suivant (pour $n\geq 2$) :

Lemme : Soit $a,b\in \mathbf R^n$ deux points et $\gamma:[0;1]\to \mathbf R^n$ un chemin injectif et $C^1$ vérifiant $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$. Pour $\varepsilon>0$ assez petit il existe un homéomorphisme $\psi$ de $\mathbf R^n$ tel que $\psi(a)=b$ et $\psi(b)=a$ et $\psi_{|\Gamma(\varepsilon)^C}=\mathrm Id$ où $\Gamma(\varepsilon)=\gamma([0;1])+B(0,\varepsilon)$.

Si ce lemme est vrai alors le cas fini est immédiat : il suffit de composer autant de $\psi_i$ qu'il y a de points en s'arrangeant pour que les $\Gamma_i$ ne s'intersectent pas. D'ailleurs on voit que l'homéo entre $\mathbf R^n \backslash A$ et $\mathbf R^n \backslash B$ se prolonge en un homéo de $\mathbf R^n$ tout entier. Dans le cas discret il faut faire un peu plus attention lorsque l'on fixe les $\gamma$. Si l'on impose par exemple que le chemin $\gamma_i$ reliant $a_i$ et $b_i$ ne passe pas dans la boule $B(0,\min(|a_i|,|b_i|)-1)$ alors la collection d'ensemble $\{\Gamma_i(\varepsilon)\}_{i\in\mathbf N}$ est localement finie : tout point $x$ n'intersecte qu'un nombre fini de $\Gamma_i$. Ainsi on peut composer l'infinité de $\psi_i$ sans se soucier de convergence puisque pour tout $x\in \mathbf R^n$ on a $\psi_i(x)=x$ sauf pour un nombre fini de $\psi_i$.

J'ai une idée pour la démonstration du lemme, mais ça risque d'être "sketchy" par endroits. Je la mettrait demain si j'ai le courage.

Voici une solution : soit $E$ l'ensemble des $m$-uplets de points deux à deux différents de $\mathbb{R}^n$. Muni de la topologie induite de celle de $(\mathbb{R}^n)^m$, il est connexe. En effet, si on se donne un $m$-uplet, on peut en déplacer tous les points pour qu'ils soient sur une droite, très loin. Comment faire ? On itère le lemme suivant.

Lemme : En dimension $\geq 2$, On peut toujours déplacer $m$ points différents pour les faire arriver sur un hyperplan très loin.
Démonstration : Il suffit de choisir une droite $d$ telle que pour tout couple de points distincts $(a,b)$, $b-a \not \in d$, et on fait doucement glisser, parallèlement à $d$, les points pour qu'ils arrivent sur $x + d^{\perp}$ pour un $x$ très loin.

Donc, on bouge tous les points du premier $m$-uplet sur une droite très loin, puis on bouge tous les points du deuxième $m$-uplet sur une autre droite, puis on déplace les droites pour qu'elles se fassent face, et on achemine d'une droite vers l'autre. Pour cela, il faut qu'ils soient "dans l'ordre" sur la droite, mais c'est facile de trier les points en les bougeant un à un !

Bon, tout ça pour démontrer que c'est connexe !

Ensuite, soit $R$ la relation d'équivalence telle que $(x_1,\cdots,x_m) R (y_1,\cdots,y_m)$ s'il existe un difféomorphisme envoyant $x_i$ sur $y_i$ pour tout $i$.

Eh bien, les classes de $R$ sont ouvertes : en effet, soit $(x_1,\cdots,x_m)$. Soit $r$ le minimum des distances entre les $x_i$, et soit $V := \{(y_1,\cdots,y_m) \ \vert \ d(x_i,y_i) < \frac{r}{4}\}$. Soit $y:=(y_1,\cdots,y_m) \in V$. Il y a juste à fabriquer un difféo envoyant $x_i$ sur $y_i$ pour tout $i$ et qui est l'identité en dehors de $\bigcup_{i} B(x_i,\frac{r}{3}$. On peut le faire, par exemple, de la manière suivante : pour un $i$ donné, on prend le champ de vecteurs constant de valeur $y_i - x_i$, et on le multiplie par une fonction plateau lisse qui vaut $1$ sur $B(x_i,\frac{r}{4}$ et $0$ en dehors de $B(x_i,\frac{r}{3}$. Alors le flot de ce champ de vecteurs envoie $x_i$ sur $y_i$ au bout d'un moment et ne bouge rien ailleurs. On ajoute alors les champs obtenus sur chaque $i$ et comme les $y_i$ sont très proches des $x_i$, ils ne se perturbent pas les uns les autres, et on obtient donc un champ de vecteurs dont le flot envoie chaque $x_i$ sur $y_i$. Bref, tout point de $V$ est en relation avec $(x_1,\cdots,x_m)$, et les classes sont donc ouvertes.

Par connexité, il n'y a qu'une seule classe, ce qu'il fallait démontrer.

@mojojojo : Pour ton lemme, il suffit de montrer que le champ de vecteurs tangents le long de la courbe $\gamma$ se prolonge à un champ de vecteurs lisse sur $\mathbb{R}^n$ s'annulant en dehors d'un voisinage de ta courbe. Ca doit être vrai si la courbe est simple, suffisamment lisse, et que son vecteur tangent ne s'annule pas, non ?

Mmmmh, dans le cours que j'ai eu quand j'étais petit, on supposait de toute façon les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz pour se placer d'emblée dans le cas où il y a unicité des solutions.

Il me semble qu'avec plein de lemmes de Gronwall, on arrive à démontrer que l'application qui à $t$ et un point $x$ associe le point où l'unique solution partant de $x$ au temps $0$ arrive au temps $t$ était continue.

Et je crois me souvenir qu'il y a un théorème qui dit que le flot est aussi régulier que le champ, ou alors un de moins ou de plus, mais le prof l'avait admis. En tout cas, si le champ est lisse, le flot aussi, j'en suis sûr !