Factorisation d'un uplet de fonctions

Gaussien
Gaussien
dans Analyse
Bonjour,

Soit $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $\Bbb R^n$ et $f_i:U\longrightarrow \Bbb R$ (pour $1\leq i\leq n$) des fonctions infiniment différentiables.

Si $f_1(0)=\dots=f_n(0)=0$, existe-t-il des fonctions infiniment différentiables $g,h_1,\dots,h_n$ de $U$ dans $\Bbb R$ telles que $g(0)=0$ et $f_i=g\times h_i$?

Merci d'avance.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Si $n=1$, oui, on peut prendre $g(x)=x$.

    Si $n=2$ (c'est pire après, certainement), je ne crois pas à cause de $f_1(x,y)=x$ et $f_2(x,y)=y$.
    Si on pouvait écrire $f_i=gh_i$ avec $g(0)=0$ (j'abrège $(0,0)$ en $0$), on aurait alors par la première égalité $g'_x(0)h_1(0)=1$ donc $g'_x(0)\ne0$ et $h_1(0)\ne0$ et $g'_y(0)h_1(0)=0$ donc $g'_y(0)=0$. C'est incompatible avec les relations analogues obtenues en permutant $x$ et $y$.
  • Gaussien
    Gaussien
    Le contre-exemple semble effectivement convenir.

    Pour contextualiser, cela signifie qu'un champ de vecteur nul en un point ne peut se factoriser via une fonction lisse s'annulant en ce point. Dans la réponse à cette question (sur un site anglophone) l'intervenant affirme le contraire, ce qui veut certainement dire que sa réponse est erronée.
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu es sûr ? Ce qu'Eric Wofsey note $\mathcal{I}_p\mathcal{D}^1$, ce sont les sommes $\sum_{k=1}^ng_kX_k$ où $g_k$ est une fonction nulle en $p$ et $X_k$ est un champ de vecteur, je ne vois pas d'analogie claire avec la situation que tu as proposée.
  • Gaussien
    Gaussien
    En effet, j'avais lu un peu trop vite... Merci! :-)
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