Factorisation d'un uplet de fonctions
Bonjour,
Soit $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $\Bbb R^n$ et $f_i:U\longrightarrow \Bbb R$ (pour $1\leq i\leq n$) des fonctions infiniment différentiables.
Si $f_1(0)=\dots=f_n(0)=0$, existe-t-il des fonctions infiniment différentiables $g,h_1,\dots,h_n$ de $U$ dans $\Bbb R$ telles que $g(0)=0$ et $f_i=g\times h_i$?
Merci d'avance.
Soit $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $\Bbb R^n$ et $f_i:U\longrightarrow \Bbb R$ (pour $1\leq i\leq n$) des fonctions infiniment différentiables.
Si $f_1(0)=\dots=f_n(0)=0$, existe-t-il des fonctions infiniment différentiables $g,h_1,\dots,h_n$ de $U$ dans $\Bbb R$ telles que $g(0)=0$ et $f_i=g\times h_i$?
Merci d'avance.
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Réponses
Si $n=2$ (c'est pire après, certainement), je ne crois pas à cause de $f_1(x,y)=x$ et $f_2(x,y)=y$.
Si on pouvait écrire $f_i=gh_i$ avec $g(0)=0$ (j'abrège $(0,0)$ en $0$), on aurait alors par la première égalité $g'_x(0)h_1(0)=1$ donc $g'_x(0)\ne0$ et $h_1(0)\ne0$ et $g'_y(0)h_1(0)=0$ donc $g'_y(0)=0$. C'est incompatible avec les relations analogues obtenues en permutant $x$ et $y$.
Pour contextualiser, cela signifie qu'un champ de vecteur nul en un point ne peut se factoriser via une fonction lisse s'annulant en ce point. Dans la réponse à cette question (sur un site anglophone) l'intervenant affirme le contraire, ce qui veut certainement dire que sa réponse est erronée.