Dérivée de son intégrale
dans Analyse
Bonjour,
Je me pose des questions de mathématiques après avoir traité l'exercice 2 du sujet du bac de physique 2018 métropole : bac physique
Plus précisément à la question 2.2 on demande d'établir les équations horaires du mouvement du centre du ballon.
L'idée dans cette question est d'intégrer l'accélération pour obtenir la vitesse puis d'intégrer la vitesse pour obtenir la position.
Dans la question 2.1, on établit que l'accélération selon $x$ est nulle pour tout $t>0$. Cela vient du fait que pour tout $t>0$, le ballon n'est soumis qu'à la force de gravitation.
Je me suis donc demandée ce qu'il en était de $a_x(0)$. Comme à l'instant $t=0$, le volleyeur tape dans le ballon, il me semble que le ballon n'est pas soumis qu'à la force de gravitation mais également à une force impulsée par le volleyeur. Je ne saurais pas exprimer cette force mais pour moi il me semble logique que $a_x(0)\neq 0$.
J'ai donc une fonction $a$ définie sur $[0;+\infty[$ nulle partout sauf en zéro. Elle est donc intégrable au sens de Riemann et $A: t\mapsto \int_0^t a_x(s) ds$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable en tout point $t_0\in[0;+\infty[$ en lequel $a_x$ est continue, de dérivée $A'(t_0)=a_x(t_0)$. Autrement dit, $A$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$ de dérivée la fonction nulle.
On pose alors $v_x(t)=v_0+\int_0^t a_x(s) ds=v_0$. On a donc $v_x(0)=v_0$ et $v_x'(t)=a_x(t)=0$ pour tout $t>0$. Ainsi $v_x$ est la fonction vitesse du ballon selon $x$.
$v_x$ est donc une fonction constante égale à $v_0$ sur $[0;+\infty[$. Mais alors elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $t\geq 0$, $v_x'(t)=0$.Et donc $v_x'$ n'est pas égale à $a_x$ en zéro. Donc $a_x$ n'est pas la dérivée de son intégrale en 0.
Quand on dit que "$A: t\mapsto \int_0^t a_x(s) ds$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable en tout point $t_0\in[0;+\infty[$ en lequel $a_x$ est continue" cela ne veut pas dire que $A$ n'est pas dérivable en un point $t_0$ en lequel $a_x$ n'est pas continue, par contre l'on n'a pas $A'(t_0)=a_x(t_0)$.
Bref, vous voyez que ce n'est pas très clair pour moi.
Merci beaucoup pour vos remarques et précisions.
Je me pose des questions de mathématiques après avoir traité l'exercice 2 du sujet du bac de physique 2018 métropole : bac physique
Plus précisément à la question 2.2 on demande d'établir les équations horaires du mouvement du centre du ballon.
L'idée dans cette question est d'intégrer l'accélération pour obtenir la vitesse puis d'intégrer la vitesse pour obtenir la position.
Dans la question 2.1, on établit que l'accélération selon $x$ est nulle pour tout $t>0$. Cela vient du fait que pour tout $t>0$, le ballon n'est soumis qu'à la force de gravitation.
Je me suis donc demandée ce qu'il en était de $a_x(0)$. Comme à l'instant $t=0$, le volleyeur tape dans le ballon, il me semble que le ballon n'est pas soumis qu'à la force de gravitation mais également à une force impulsée par le volleyeur. Je ne saurais pas exprimer cette force mais pour moi il me semble logique que $a_x(0)\neq 0$.
J'ai donc une fonction $a$ définie sur $[0;+\infty[$ nulle partout sauf en zéro. Elle est donc intégrable au sens de Riemann et $A: t\mapsto \int_0^t a_x(s) ds$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable en tout point $t_0\in[0;+\infty[$ en lequel $a_x$ est continue, de dérivée $A'(t_0)=a_x(t_0)$. Autrement dit, $A$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable sur $]0;+\infty[$ de dérivée la fonction nulle.
On pose alors $v_x(t)=v_0+\int_0^t a_x(s) ds=v_0$. On a donc $v_x(0)=v_0$ et $v_x'(t)=a_x(t)=0$ pour tout $t>0$. Ainsi $v_x$ est la fonction vitesse du ballon selon $x$.
$v_x$ est donc une fonction constante égale à $v_0$ sur $[0;+\infty[$. Mais alors elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $t\geq 0$, $v_x'(t)=0$.Et donc $v_x'$ n'est pas égale à $a_x$ en zéro. Donc $a_x$ n'est pas la dérivée de son intégrale en 0.
Quand on dit que "$A: t\mapsto \int_0^t a_x(s) ds$ est continue sur $[0;+\infty[$ et dérivable en tout point $t_0\in[0;+\infty[$ en lequel $a_x$ est continue" cela ne veut pas dire que $A$ n'est pas dérivable en un point $t_0$ en lequel $a_x$ n'est pas continue, par contre l'on n'a pas $A'(t_0)=a_x(t_0)$.
Bref, vous voyez que ce n'est pas très clair pour moi.
Merci beaucoup pour vos remarques et précisions.
Réponses
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Je pense que tu confonds condition nécessaire et suffisante. Si $f : [0, +\infty[$ \to \mathbb R$ est Riemann-intégrable (disons sur chaque segment), alors une condition suffisante pour que $t \mapsto \int_0^t f(x) \,dx$ soit dérivable en un point $t_0 > 0$ est que $f$ soit continue en $t_0$. Il se peut qu'elle soit quand même dérivable en un point où $f$ n'est pas continue, par exemple dans ton cas tu as une fonction $f$ telle que $f(0) \neq 0$ et $f(x) =0$ pour $x > 0$. Alors la fonction $t \mapsto \int_0^t f(x) \,dx$ est la fonction nulle sur $[0, +\infty[$, qui est bien entendu dérivable partout.
C'est juste une manifestation du fait que les deux sens du théorème fondamental de l'analyse nécessitent des hypothèses : il n'est pas toujours vrai que $$\int_a^b f'(t) \,dt = f(b) - f(a)$$ et que $$F'(t) = f(t)$$ quand $$F : t \mapsto \int_a^t f(x) \,dt.$$ -
OK.
Le cas que j'ai exposé est donc un cas où $F'(t)\neq f(t)$ avec $F:\int_a^t f(x) dx$.
Avez-vous un exemple où $\int_a^b f'(x)dx\neq f(b)-f(a)$ ? -
Tu peux regarder la fonction de Cantor (également appelée escalier du diable).
En général si $f$ est continue on doit se contenter de :
$\int_a^b f'(x) dx \leq f(b)-f(a)$ -
Bonjour.
Merci pour l'escalier de Cantor mais je trouve que c'est un exemple autrement plus sophistiqué (plus difficile) que celui présenté en début de fil. Mais je suis d'accord que le problème que l'on regarde n'est pas le même (en début de fil, une fonction n'est pas égale à la dérivée de son intégrale, alors que pour l'escalier du diable on a un exemple où une fonction n'est pas égale à l'intégrale de sa dérivée).
En ce qui concerne l'escalier de Cantor, la fonction $f$ est continue sur $[0;1]$ qui est une condition suffisante pour que $F'=f$ avec $F:t\in[0;1]\mapsto \int_0^t f(s)ds$.
Par contre on voit que la continuité n'est pas suffisante pour que $f(t)=\int_0^t f'(s)ds$.
Quelle est une condition suffisante pour que $f(t)=\int_0^t f'(s)ds$ ?
Merci. -
Il en existe plusieurs tout dépend de l'intégrale que tu considères, et du sens que tu veux donner à la dérivée!
*Une fonction dérivable en tout point est l'intégrale de sa dérivée, pour l'intégrale de Kurweil-Henstock.
**Une fonction absolue continue est dérivable (Lebesgue) presque partout et est l'intégrale (de Lebesgue) de sa dérivée.
L'escalier du diable est un exemple de fonction monotone (et donc dérivable pp) qui n'est pas absolument continue, car envoie l'ensemble de Cantor triadique (qui est de mesure nulle) sur $[0,1]$ (qui n'est pas un ensemble de mesure nulle!). -
Ce ne sont pas des questions faciles, mais tu peux déjà lire avec profit la page Wikipedia concernée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_fondamental_de_l'analyse
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Bonjour!
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