Solution maximale ou globale

Bonjour,

Mati, j'ai l'impression que tu manipules ici une équation de diffusion (température, matière, vitesse, etc.) à cause du terme $\displaystyle \partial_t u - \Delta u$, avec terme source $f(x,t)$ à droite, c'est bien ça ? Le terme $F(u)$ ressemble à une force mécanique du milieu (visqueuse ou de frottement si $u$ est la vitesse dans un fluide)...

Dans ce cas, il s'agit de résoudre une équation dite parabolique. On démontre alors, par exemple par transformées de Fourier, que sa solution unique doit être périodique en temps ou en espace (*), donc n'existe que sur un "rectangle minimal" du type $[0,\ell]\times ]0,\tau]$ (pour une dimension d'espace). Je ne pense pas que ce temps fini soit dû ici à une explosion ou singularité (**) mais à l'existence d'une solution périodique en série de Fourier.

Essaie déjà de nous exposer ton problème physique initial.

(*) C'est en fonction des données initiales : si ton problème a des conditions au bord $u(0,t)$ qui ne dépendent que du temps (resp. des conditions initiales $u(x,0)$ qui ne dépendent que de l'espace), alors la solution générale $u(x,t)$ doit être aussi périodique en temps (resp. en espace). Sa période temporelle (resp. spatiale) est alors $\tau$ (resp. $\ell$). Cette solution périodique est bien sûr prolongeable sur des intervalles plus grands. Dans ton cas, vu que l'on précise que $f$ est définie sur $[0,T]$, ta solution doit être périodique en temps.

(**) Les phénomènes de "chocs" se produisent plutôt pour des équations comme les équations hyperboliques, rencontrées dans les propagations d'ondes, du type : $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \Delta u = 0$, ou des équations d'"advection" sans terme dissipatif comme : $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = 0$. Par contre, les équations paraboliques ou de diffusion ont une forte tendance à émousser les singularités.

@TomasV : certes, la périodicité de $f$ doit rester en cohérence avec celle de $u$, mais en effet le problème n'est pas clair. Si l'on veut rester dans les théorèmes usuels d'existence et d'unicité de solutions des équations paraboliques, d'un côté la condition initiale de Mati $u(x,0)=u_0(x)$ fait penser à une solution $u(x,t)$ périodique en $x$ pour une $f$ également périodique en $x$ (il manquerait une condition de Dirichlet homogène en $\forall t$, $u(0,t)=u(L,t)$).

D'un autre côté, il semble évoquer dans son point 2) un théorème bien connu pour des fonctions $u(x,t)$ et $f(x,t)$ périodiques en $t$ - ce qui "collerait" avec le $[0,T]$ mais alors il faudrait une condition de bord en $u(0,t) = u_0(t)$. Mais peut-être lui demande t-on d'admettre un théorème très particulier (non usuel) dans l'exercice et qui expliquerait comment, sans périodicité, on peut prolonger sa solution sur $[0,T]$. Cet intervalle borné provient peut-être aussi d'un terme source transitoire, sans appel à des "explosions" - qui de toute façon, restent généralement limitées en présence de termes de diffusion en "dérivées seconde" dans le régime parabolique (même des conditions initiales discontinues sont "smoothées"). Cette hypothèse resterait cohérente avec la recherche de solutions pour tout "$t>0$" (dixit l'énoncé).

Mieux vaut que l'on attende plus de détails.