Convergence simple et uniforme

Voici l'énoncé et la correction.
C'est l'exercice 7.5.

Pour $x \in \mathbb R \backslash [-1,1]$,
\begin{align*}
f_n(x) &= \sqrt[n]{1 + x^{2n}} = (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}} = e^{\ln \left( (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}} \right)} \\
&= e^{\frac{ \ln (1+x^{2n})}{n}} = e^{ \frac{\ln \left( x^{2n} \left( \frac{1}{x^{2n}}+1\right) \right)}{n}}= e^{ \frac{\ln x^{2n}}{n}+\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}\\
&= e^{\frac{\ln x^{2n}}{n}} e^{\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}= e^{\frac{n\ln x^{2}}{n}} e^{\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}= x^2e^{\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}\\
&= x^2 \left( \frac{1}{x^{2n}} +1 \right)^{\frac{1}{n}}
\end{align*}
En prenant la limite sur $n$ des deux membres de la dernière égalité, nous avons que $f_n(x) \to x^2$ lorsque $n \to \infty$.

Pour $x \in (-1,1)$, nous avons $x^{2n} \to 0$ et donc $f_n(x) \to 1$ quand $n \to \infty$.

Est-ce correct ?

@gerard0

Oui mais pour le cas où $x = -1$ ou $x=1$, je l'ai traité dans le premier cas où ça tend vers $x^2$ et donc $1$.

Sinon merci de m'avoir éclaircie sur la correction du livre.

Et merci à tout le monde pour votre aide, plus qu'à étudier la convergence uniforme maintenant.

Pour la convergence uniforme, est-ce correct de partir comme ceci :

Pour tout $\epsilon >0$, je cherche un intervalle contenant $x$ pour lequel il existe $N$ tel que pour tout $n\ge N$, on a $$
\begin{align*}
\left| \left( 1+x^{2n} \right)^{\frac{1}{n}} - f(x) \right |& \le \epsilon \\
-\epsilon +f(x) \le \left( 1+x^{2n} \right)^{\frac{1}{n}} &\le \epsilon +f(x) \\
\frac{\ln (-\epsilon +1)}{-\ln n} - f(x) \le x^{2n} &\le \frac{\ln (\epsilon +1)}{-\ln n} - f(x)
\end{align*}
$$ Or le membre de gauche n'est pas défini lorsque $\epsilon < 1$ donc on ne peut trouver un intervalle pour lequel pour tout $\epsilon >0$, $x$ dans cet intervalle répond à la définition de la convergence uniforme.

Est-ce que le raisonnement est bon ?

J'ai écrit $f(x)$ pour ne pas écrire $1$ ou $x^2$ dépendant des intervalles définis plus haut.

Ce que je voulais dire c'est de trouver des "sous-intervalles" de $[-1,1]$ tels que la fonction converge uniformément vers $1$ (pareillement pour l'autre intervalle où ça converge vers x^2). Mais vu qu'ici, indépendant de la limite de $f_n(x)$, le logarithme n'est pas défini pour tout $\epsilon >0$ alors la fonction n'est pas uniformément convergent et je voulais savoir si ce raisonnement est correct.

@TomasV

Merci beaucoup. Donc maintenant que j'impose $1-\epsilon >0$, je continue mon développement plus haut

J'ai d'une part pour la convergence vers $1$ :
$\begin{align*}
-\frac{\ln (-\epsilon +1)}{\ln n} - 1 \le x^{2n} \le -\frac{\ln (\epsilon +1)}{\ln n} - 1\\
\frac{\ln (\epsilon +1)}{\ln n} + 1 \le x^{2n} \le \frac{\ln (-\epsilon +1)}{\ln n}+1\\
\left( \frac{\ln (\epsilon +1)}{\ln n}\right)^{\frac{1}{2n}} + 1 \le x \le \left(\frac{\ln (-\epsilon +1)}{\ln n}+1\right)^{\frac{1}{2n}}
\end{align*}
$
Et puis, je dois faire quoi pour savoir sur quel intervalle la suite est uniformément convergente ?