Convergence simple et uniforme
dans Analyse
Bonjour,
Je dois étudier la convergence simple (et uniforme ensuite) de la fonction $f_n = \sqrt[n]{1+x^{2n}}$.
Dans ma correction, on me dit que cette fonction converge vers $1$ pour tout $x \in \mathbb R$ mais je ne vois pas du tout comment le montrer…
Merci d'avance
Je dois étudier la convergence simple (et uniforme ensuite) de la fonction $f_n = \sqrt[n]{1+x^{2n}}$.
Dans ma correction, on me dit que cette fonction converge vers $1$ pour tout $x \in \mathbb R$ mais je ne vois pas du tout comment le montrer…
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Réponses
Parce que pour x>1 on a ~ (x2n)1/n =x² .
Pour tout $x$ réel, pour tout $n$ entier, $\displaystyle f_n(x)=e^{\dfrac{\ln (1+x^{2n})}{n}}$.
Encore un équivalent non justifié !
Que $n\mapsto1+x^{2n}$ soit équivalent (lorsque $x>1$) à $x^{2n}$ oui.
Pour élever un équivalent (d'une expression en $n$) à la puissance $1/n$ il faut une justification.
Où est le problème quand x>1 ?
Tout d'abord, l'exercice nous demande d'étudier le domaine sur lequel la fonction est simplement et uniformément convergente.
D'après moi, elle est simplement convergente sur $[-1,1]$ vers la fonction $$
f(x) =\begin{cases}
1 &\mbox{si }x \in \{-1,1\}\\
0 &\mbox{si }x \in \ ]{-}1,1[
\end{cases}
$$ Mais pour le reste de $\mathbb R$, la suite de fonctions est divergente.
Cordialement.
1) Je ne vois pas que ça converge vers $x^2$
2) Dans mon livre, c'est juste marqué que ça converge vers $1$ pour tout $x$ et je comprends encore moins...
Ils disent ensuite que la fonction est uniformément convergente sur tout intervalle $[a,b]$
Et la limite $x^2$ est justifiée par le message de Thomasv. Lis-le et fais le travail.
Cordialement.
@Miniportecle
Et si tu mettais simplement une copie de l'énoncé tel qu'il est dans ton livre ? C'est pénible de chercher à deviner un énoncé qui serait compatible avec un résultat prescrit .
C'est l'exercice 7.5.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Tu démontres que l'exposant a un équivalent et tu passes directement à un équivalent de l'exponentielle : il y a quelques mots à dire.
En écrivant "la limite de l'exposant est $\ln(x^2)$" c'est correct. Je reproche le passage de $u\simeq v$ à $e^{u}\simeq e^v$
\begin{align*}
f_n(x) &= \sqrt[n]{1 + x^{2n}} = (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}} = e^{\ln \left( (1+x^{2n})^{\frac{1}{n}} \right)} \\
&= e^{\frac{ \ln (1+x^{2n})}{n}} = e^{ \frac{\ln \left( x^{2n} \left( \frac{1}{x^{2n}}+1\right) \right)}{n}}= e^{ \frac{\ln x^{2n}}{n}+\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}\\
&= e^{\frac{\ln x^{2n}}{n}} e^{\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}= e^{\frac{n\ln x^{2}}{n}} e^{\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}= x^2e^{\frac{\ln\left( \frac{1}{x^{2n}}+1 \right)}{n}}\\
&= x^2 \left( \frac{1}{x^{2n}} +1 \right)^{\frac{1}{n}}
\end{align*}
En prenant la limite sur $n$ des deux membres de la dernière égalité, nous avons que $f_n(x) \to x^2$ lorsque $n \to \infty$.
Pour $x \in (-1,1)$, nous avons $x^{2n} \to 0$ et donc $f_n(x) \to 1$ quand $n \to \infty$.
Est-ce correct ?
@AD: le génie du Latex s'éloigne.
[Il faut être plus soigneux : \right arrow n'est pas une commande $\LaTeX$, \rightarrow l'est. AD]
Inutile d'épiloguer.
Miniportecle, attention aux cas x=-1 et x=1 pour lesquels $x^n$ ne tend pas vers 0, mais $f_n(x)\to 1$.
Cordialement.
Oui mais pour le cas où $x = -1$ ou $x=1$, je l'ai traité dans le premier cas où ça tend vers $x^2$ et donc $1$.
Sinon merci de m'avoir éclaircie sur la correction du livre.
Et merci à tout le monde pour votre aide, plus qu'à étudier la convergence uniforme maintenant.
Pour tout $\epsilon >0$, je cherche un intervalle contenant $x$ pour lequel il existe $N$ tel que pour tout $n\ge N$, on a $$
\begin{align*}
\left| \left( 1+x^{2n} \right)^{\frac{1}{n}} - f(x) \right |& \le \epsilon \\
-\epsilon +f(x) \le \left( 1+x^{2n} \right)^{\frac{1}{n}} &\le \epsilon +f(x) \\
\frac{\ln (-\epsilon +1)}{-\ln n} - f(x) \le x^{2n} &\le \frac{\ln (\epsilon +1)}{-\ln n} - f(x)
\end{align*}
$$ Or le membre de gauche n'est pas défini lorsque $\epsilon < 1$ donc on ne peut trouver un intervalle pour lequel pour tout $\epsilon >0$, $x$ dans cet intervalle répond à la définition de la convergence uniforme.
Est-ce que le raisonnement est bon ?
Or avec les discussions dessus tu connais déjà un tel intervalle . Il y en a peut-être d'autres ou pas .
D'ailleurs dans ce que tu as écrit, pour avancer il faut remplacer f(x) par ce que tu penses être la limite .
Ce que je voulais dire c'est de trouver des "sous-intervalles" de $[-1,1]$ tels que la fonction converge uniformément vers $1$ (pareillement pour l'autre intervalle où ça converge vers x^2). Mais vu qu'ici, indépendant de la limite de $f_n(x)$, le logarithme n'est pas défini pour tout $\epsilon >0$ alors la fonction n'est pas uniformément convergent et je voulais savoir si ce raisonnement est correct.
S tu écris : 1-epsilon < f(x,n) on a en effet 1 - epsilon < 0 pour epsilon > 1 .
Mais dans ce cas l'inégalité de gauche est trivialement satisfaite puisque 1 - epsilon < 0 < f(x,n)
Donc comme on s'intéresse surtout aux epsilons petits et on a traité le cas (inintéressant) de epsilon > 1 , on impose maintenant 0 < epsilon < 1 donc 1 - epsilon > 0 et tu peux continuer en prenant des logs, des racines ou ce que tu veux .
Merci beaucoup. Donc maintenant que j'impose $1-\epsilon >0$, je continue mon développement plus haut
J'ai d'une part pour la convergence vers $1$ :
$\begin{align*}
-\frac{\ln (-\epsilon +1)}{\ln n} - 1 \le x^{2n} \le -\frac{\ln (\epsilon +1)}{\ln n} - 1\\
\frac{\ln (\epsilon +1)}{\ln n} + 1 \le x^{2n} \le \frac{\ln (-\epsilon +1)}{\ln n}+1\\
\left( \frac{\ln (\epsilon +1)}{\ln n}\right)^{\frac{1}{2n}} + 1 \le x \le \left(\frac{\ln (-\epsilon +1)}{\ln n}+1\right)^{\frac{1}{2n}}
\end{align*}
$
Et puis, je dois faire quoi pour savoir sur quel intervalle la suite est uniformément convergente ?
Il a été dit que la suite $(f_n)_{n\in \N^*}$ convergeait simplement vers la fonction $f: x\longmapsto \left\{ \begin{array} {cc} 1&\text{si } |x| \leq1.\\ x^2& \text{sinon}.\end{array}\right.$
Pour démontrer que la convergence est uniforme sur $\R$, il "suffit" de prouver l'existence d'une suite réelle $(u_n)_{n\in \N^*}$ telle que:
$\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}u_n = 0\:}$ et, $\forall x\in \R,\: \forall n\in\N^*,\:\: |f_n(x) - f(x)| \leq u_n.$
Tu peux ainsi t'efforcer de démontrer, en séparant les cas $|x|\leq 1$ et $|x|\geq 1$, que la suite définie par $u_n =\dfrac1n$ vérifie ces conditions.
Amicalement,