Solutions linéairement indépendantes
Bonjour
Soit $y_1$ et soit $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation $$
(P(x) y')'+ q(x) y =0
$$ sur l'intervalle $[a,b]$ avec $P(x)>0$.
1- Montrer que $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps.
2- Montrer que si $y_1$ et $y_2$ ne sont pas triviales et sont linéairement dépendantes, alors elles s'annulent en même temps.
Ce que j'ai fait.
1- $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendantes veut dire que $\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}: k_1 y_1(x)+ k_2 y_2(x) \neq 0,\ \forall x \in [a,b]$.
On suppose par l'absurde que $\exists x_0 \in [a,b],\ y_1(x_0)= y_2(x_0)=0$. Donc $\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R},\ k_1 y_1(x_0)+k_2 y_2(x_0)=0$ ce qui contredit l'indépendance linéaire.
2- Si $y_1 \neq 0$ et $y_2 \neq 0$ tels que $\exists (k_1,k_2) \in \R^* \times \R,\ k_1 y_1(x)+k_2 y_2(x)= 0,\ \forall x \in [a,b]$ implique que $y_1(x)= -\dfrac{k_2}{k_1} y_2(x),\ \forall x \in [a,b]$.
Voilà que pensez-vous de ma solution ?
Cordialement.
Soit $y_1$ et soit $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation $$
(P(x) y')'+ q(x) y =0
$$ sur l'intervalle $[a,b]$ avec $P(x)>0$.
1- Montrer que $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps.
2- Montrer que si $y_1$ et $y_2$ ne sont pas triviales et sont linéairement dépendantes, alors elles s'annulent en même temps.
Ce que j'ai fait.
1- $y_1$ et $y_2$ sont linéairement indépendantes veut dire que $\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}: k_1 y_1(x)+ k_2 y_2(x) \neq 0,\ \forall x \in [a,b]$.
On suppose par l'absurde que $\exists x_0 \in [a,b],\ y_1(x_0)= y_2(x_0)=0$. Donc $\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R},\ k_1 y_1(x_0)+k_2 y_2(x_0)=0$ ce qui contredit l'indépendance linéaire.
2- Si $y_1 \neq 0$ et $y_2 \neq 0$ tels que $\exists (k_1,k_2) \in \R^* \times \R,\ k_1 y_1(x)+k_2 y_2(x)= 0,\ \forall x \in [a,b]$ implique que $y_1(x)= -\dfrac{k_2}{k_1} y_2(x),\ \forall x \in [a,b]$.
Voilà que pensez-vous de ma solution ?
Cordialement.
Réponses
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Attention, l'indépendance linéaire ne veut pas dire $$\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}: k_1 y_1(x)+ k_2 y_2(x) \neq 0, \forall x \in [a,b]$$ (qui est très mal quantifié, et devrait être écrit $$\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, \forall x \in [a,b], k_1 y_1(x)+ k_2 y_2(x) \neq 0$$) mais bien $$\forall (k_1,k_2) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}, \exists x \in [a,b], k_1 y_1(x)+ k_2 y_2(x) \neq 0.$$
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Que c'est curieux que l'équation différentielle et le fait que y1 et y2 sont solutions n'intervient nulle part .
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oui comment intervient le fait que $y_1$ et $y_2$ sont solutions de l'équation?
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Connais-tu la notion de Wronskien?
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donc l'exercice est fini ^^
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mais c'est quoi le lien avec le Wronskien?:-S
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Première chose : simplifie ton équa. diff. en l'écrivant $y''+ay'+by=0$ où $a,b$ sont des fonctions (avec la régularité qui t'arrange, j'ai juste divisé par $\frac{1}{P}\neq 0$)
Sais-tu que le Wronskien vérifie une équa. diff. linéaire du premier ordre dans ton cadre? (à déterminer ici en fonction de $a$ et $b$)
Ainsi, on obtient que deux solutions de l'équa diff sont linéairement indépendantes si et seulement si le det. de leur conditions initiales (ici conditions de Cauchy sur la fonction et sa dérivée) ne s'annulent pas... Il est alors aisé de conclure! -
Bonjour,
1- Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes de l'équation
$$
(P(x) y')' + q(x) y=0.
$$
sur l'intervalle $[a,b]$ avec $P(x)>0$.
La question est de montrer que $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps. Par l'absurde on suppose que $y_1$ et $y_2$ s'annulent en même temps, c'est à dire qu'il existe $x_0\in [a,b]$ tel que $y_1(x_0)=y_2(x_0)=0$. Qui implique que le Wronksien $W[y_1,y_2](x_0)= y_1(x_0) y_2'(x_0)- y_2(x_0) y_1'(x_0) =0$ qui est une contradiction avec le fait que $y_1$ et $y_2$ soient linéairement indépendants. Donc $y_1$ et $y_2$ ne s'annulent pas en même temps.
2- On montre que si $y_1$ et $y_2$ ne sont pas triviales et sont linéairement dépendantes, alors $y_1$ et $y_2$ s'annulent ensemble.
$y_1$ $y_2$ s'annulent ensemble veut dire que
$$
\exists x_0 \in [a,b]: W[y_1,y_2](x_0)= y_1(x_0) y_2'(x_0)= y_2(x_0) y_2'(x_0).
$$
Après je ne vois pas comment continuer pour montrer que $y_1$ et $y_2$ s'annulent ensemble.
Merci par avance pour l'aide. -
up X:-(
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Deux vecteurs $y_1$ et $y_2$ d'un espace vectoriel sont linéairement dépendants s'il existe deux scalaires $k_1$ et $k_2$ non tous deux nuls tels que $k_1y_1+k_2y_2=0$. Si par exemple $k_1\ne0$, cela permet d'exprimer $y_1$ en fonction de $y_2$. Tu peux finir ?
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Bonjour Math Coss, merci pour l'aide.
Il est évident qu'avec cette écriture, $y_1$ et $y_2$ s'annulent en même temps.
Par contre on a dit que $k_1$ et $k_2$ sont deux scalaires dont au moins l'une n'est pas nulles, mais comme $y_1$ et $y_2$ ne sont pas triviales, alors $k_1$ et $k_2$ doivent tous les deux être non nuls. Non? -
Oui, bien sûr. Je n'ai pas dit le contraire, j'ai seulement cité la définition générale de l'indépendance linéaire. Si on sait de plus qu'il n'y a que deux vecteurs et qu'ils sont tous deux non nuls, alors les deux scalaires aussi (ou « non plus » ?).
-
Merci :-)
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