Équivalents, équivalents...

totem
totem
dans Analyse
Bonjour, dans mon livre :

Pour $f$ et $g$ strictement positives on a :

$f \sim g \Longrightarrow f^\alpha \sim g^\alpha,\ \alpha \in \R$

Auriez-vous un contre-exemple prouvant que l'implication réciproque est fausse ? Merci.

[Le symbole d'équivalent s'écrit avec la commande \sim. Poirot]

Réponses

  • Bbidule
    Bbidule
    Bonjour,

    Considère $f:~x\mapsto x$, $g:~x\mapsto x^2$ et $\alpha=0$, en te plaçant au voisinage de $+\infty$.

    Bien cordialement,
  • totem
    totem
    @Bidule : merci ! en effet je n'avais pas pensé au cas particulier alpha = 0...

    A part alpha=0 par contre je ne vois pas !
  • bisam
    bisam
    Bah, si $\alpha\neq 0$, tu peux appliquer l'implication directe pour prouver que $f^{\alpha} \sim g^{\alpha}\Rightarrow (f^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}=f \sim (g^{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}=g$.
    Autrement dit, si $\alpha\neq 0$, $f\sim g \Leftrightarrow f^{\alpha} \sim g^{\alpha}$.
  • totem
    totem
    Oui. Autrement dit ce qui est dans mon livre est un peu fallacieux...
  • Amathoué
    Amathoué
    Pourquoi fallacieux? Tout dépend de l’endroit où c’est évoqué et de la manière avec laquelle c’est utilisé.
    Tu as une image de la page incriminée?
  • totem
    totem
    C'est à la page " propriété des équivalents" d'un livre math sup...ils n'en disent pas plus.

    Disons que je m'attendais à ce qu'il y ait plus d'un contre-exemple pour montrer que l'implication réciproque est fausse ! mais un contre exemple suffit...
  • Amathoué
    Amathoué
    Eh bien cela a bien sa place à cet endroit et c’est nullement fallacieux, bien au contraire.
    Si $f$ et $g$ sont deux fonctions strictement positives:
    $ (f \sim g \Longrightarrow f^\alpha \sim g^\alpha, \forall \alpha \in \mathbb{R}) \Longrightarrow
    (\forall \alpha \in \mathbb{R}^* ,f^{\alpha} \sim g^{\alpha} \Longrightarrow f \sim g)$
    Ton livre énonce donc quelque chose de plus précis qu’une réciproque « adaptée ».
  • totem
    totem
    @Amathoué: euh je ne dis pas le contraire, mais d'où provient l'implication du milieu qui te semble évidente ? pas pour moi en tout cas ...
  • Dom
    Dom
    Formellement, dans les bons cas, avec les bons ensembles de définition, etc. :

    $u \mapsto u^{\alpha}$ est bijective d'inverse $u \mapsto u^{\frac{1}{\alpha}}$.

    Ainsi, on peut appliquer la première implication pour démontrer la seconde (dans les bons cas).
  • totem
    totem
    C'est quoi les bons cas ?
  • Tryss
    Tryss
    Que tout est bien défini.

    $u \mapsto u^2$ est bijective d'inverse $u \mapsto u^{\frac{1}{2}}$ seulement sur certains ensembles de définition.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

GaBuZoMeuJLTLipschitzMrJSethMorleyJuniorchristianmosellerakam +15 Invités